Zeigen Sie, dass (a,b)~(c,d) : a+d=c+b eine Äquinvalenzrelation darstellt.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass (a,b)~(c,d) :<=> a+d=c+b eine Äquinvalenzrelation darstellt.

Problem/Ansatz:

Also muss ich Reflexivität, Symmetrie und Transitivität zeigen.

Reflexivität:

Sei (a,b) ein Element dieser Relation, dann muss (a,b) in Relation zu sich selbst stehen, also (a,b)~(a,b) <=> a+b=a+b, stimmt also.

Symmetrie:

Seien (a,b) und (c,d) Elemente diese Relation und (a,b)~(c,d), dann muss auch (c,d)~(a,b):

(a,b)~(c,d) <=> a+d=b+c und (c,d)~(a,b) <=> c+b=d+a = a+d=b+c, stimmt also.

Transitivität:

Seien (a,b), (c,d) und (e,f) Elemente der Äquivalenz und (a,b)~(c,d) und (c,d)~(e,f), dann muss auch (a,b)~(e,f)

WIr haben

(a,b)~(c,d) <=> a+d=b+c und (c,d)~(e,f) <=> c+e=d+f und damit müssen wir zeigen, dass (a,b)~(e,f) <=> a+e=b+f gilt, aber wie mache ich das? Und war wer Rest richtig?

Answer 1

Und war wer Rest richtig?    Ja !

    (a,b)~(c,d) <=> a+d=b+c

und (c,d)~(e,f) <=> c+e=d+f

    ==>   (  a+d ) + (  c+e )   =  (b+c)  + (d+f )      | -d-c

   ==>         a+e  =  b+f       q.e.d.

Comments

danke für die Antwort.

Ich verstehe eines nicht:

Du erweiterst eine der Gleichung mit der anderen und erhältst (  a+d ) + (  c+e )  =  (b+c)  + (d+f ) und subtrahierst dann einfach d und c auf beiden Seiten und man erhält

a+e =  b+f, aber wie kommst du darauf das Ergebnis als eine Relation zu interpretieren. Was ich nicht verstehe ist, warum bei der Erweiterung und dann bei der Subtraktion eine neue Relation als Ergebnis herauskommt.

Darauf wäre ich nicht gekommen

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Du hattest doch selber gesagt:

"   zeigen, dass (a,b)~(e,f) <=> a+e=b+f gilt, "

Damit hattest du doch die Gleichung a+e=b+f  , die es zu zeigen

gilt, und dazu musste man nur schauen, ob man das mit den üblichen

Umformungen hin bekommt.

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Ach so, jetzt verstehe ich.