Orthonormalbasen und Matrizen

Question

Hallo,

ich habe eine Verständnisfrage zu Orthonormalbasen und würde mich daher sehr über eine Antwort freuen!

In Linearer Algebra besprechen wir aktuell Eigenvektoren und Eigenwerte bei Matrizen, und bei einem Beweis wird {x₁, ..., x_k} als Orthonormalbasis des Eigenraums eines Eigenwerts λ definiert, der später zu einer Orthonormalbasis des Rⁿ erweitert wird (als {x₁, ..., x_n}).

Was kann ich mir darunter vorstellen? Und warum wird diese erweitert?

Später wird dann das Skalarprodukt zwischen einem Eigenvektor x_i und dem Produkt eines beliebigen, anderen Vektors x_j und einer symmetrischen Matrix M gebildet.

Dass das Skalarprodukt < x_i.M*x_j > gleich < M*xi.xj > ist, leuchtet mir ein, aber warum ist das gleich < λ*xi.xj >?

Und aus welchem Grund ergibt λ*< x_i.x_j > das: λ* δ_{ij} (= Kronecker Delta)?

Answer 1

Dass das Skalarprodukt < xi.M*xj > gleich < M*xi.xj > ist, leuchtet mir ein,
aber warum ist das gleich < λ*xi.xj >?

Wenn λ der Eigenwert von der Matrix M

zum Eigenvektor x_i ist ( also xi aus dem Eigenraum von M zum

Eigenwert λ )  dann gilt per. def. M*x_i = λ*x_i

Und aus welchem Grund ergibt λ*< x_i.x_j > das: λ* δij (= Kronecker Delta)?

Da {x1, ..., xn} eine Orthonormalbasis ist, haben je zwei

verschiedene das Skalarprodukt 0 und zwei gleiche ( also

einer mit sich selbst) das Skalarprodukt 1. Genau so

ist ja auch das Kroneckersymbol definiert.

Comments

Vielen Dank! Das hat mir sehr weitergeholfen!

Könnten Sie mir möglicherweise noch die zwei oberen Fragen beantworten?

In Linearer Algebra besprechen wir aktuell Eigenvektoren und Eigenwerte bei Matrizen, und bei einem Beweis wird {x1, ..., xk} als Orthonormalbasis des Eigenraums eines Eigenwerts λ definiert, der später zu einer Orthonormalbasis des Rn erweitert wird (als {x1, ..., xn}).

Was kann ich mir darunter vorstellen? Und warum wird diese erweitert?

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Orthonormalbasis ist immer dafür gut, dass beim Rechnen

von Skalarprodukten mit den in dieser Basis dargestellten Vektoren

es besonders einfach wird und dem Standardskalarprodukt in

R^n entspricht.