Beweis für lineare Abhängigkeit mit Polynomen?

Question

Aufgabe:

Beweis für lineare Abhängigkeit mit Polynomen ?

Problem/Ansatz:

Hallo, meine Aufgabe lautet:

Für welche reellen Zahlen a ∈ R sind ist x² + 2x + 1, 2x² − x, ax² − 1 ∈ R[x] linear
(un-)abhängig?

Ich kann ja x² + 2x + 1 darstellen durch den Vektor: (1,2,1)

und 2x² - x durch: (2, -1, 0) und ax² - 1 durch: (a, 0, -1)

Als Koeffizientenmatrix dargestellt:

1	2	1	0
2	-1	0	0
a	0	-1	0

Gauß-Verfahren:

2 Zeile - 1 Zeile * 2:

1	2	1	0
0	-5	-2	0
a	0	-1	0

3 Zeile - 1 Zeile * a:

1	2	1	0
0	-5	-2	0
0	-2a	-1-a	0

3 Zeile * 5 - 2 Zeile * 2a:

1	2	1	0
0	-5	-2	0
0	0	-5-9a	0

d.h: x3 = -5-9a = 0 -> -9a = 5 -> -a = 5/9 -> a = -(5/9)

Also bedeutet dass, das die Vektoren für a = -(5/9) linear abhängig sind und für alle a != -(5/9) unabhängig sind oder?

Comments

Letzte Matrix:

3 Zeile * 5 - 2 Zeile * 2a  →  -5 - a  [statt -5 - 9a]

Answer 1

Aloha :)

3 Vektoren im \(\mathbb R^3\) sind genau dann linear unabhängig, wenn ihre Determinante ungleich null ist.

$$\begin{vmatrix}1 & 2 & 1\\2 & -1 & 0\\a & 0 & -1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 2 & 1\\2 & -1 & 0\\a+1 & 0+2 & -1+1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 2 & 1\\2 & -1 & 0\\a+1 & 2 & 0\end{vmatrix}=4+a+1=a+5$$

Das heißt, für \(a\ne-5\) sind die Polynome linear unabhängig, für \(a=-5\) sind sie linear abhängig.

Comments

Hi danke für die Antwort. Also muss ich wohl irgendwo einen Fehler haben in meiner Matrix ?

Das Problem ist nämlich das ich nicht mit Determinanten argumentieren darf, da diese in der Vorlesung noch nicht besprochen wurden.

---

$$\begin{array}{rrr|l}x^2 & x & x & \text{Aktion}\\\hline1 & 2 & 1\\2 & -1 & 0 & -2Z_1\\a & 0 & -1 & -aZ_1\\\hline1 & 2 & 1\\0 & -5 & -2 & :\,2,5\\0 & -2a & -a-1 & \\\hline1 & 2 & 1 & +Z_2\\0 & -2 & -0,8 & \\0 & -2a & -a-1 & -aZ_2\\\hline1 & 0 & 0,2 & \\0 & -2 & -0,8 & :\,(-2)\\0 & 0 & -0,2a-1 & \cdot\,(-5)\\\hline1 & 0 & 0,2 & \\0 & 1 & 0,4 & \\0 & 0 & a+5 & \\\hline\hline\end{array}$$

Für \(a=-5\) wird die letzte Gleichung zu \(0=0\) und die Polynome damit linear abhängig.