Extrema - Polynomfunktion 5. Grades mit Klammern

Question

Hallo Mathe-Community,

ich hätte ne Frage zur Berechnung von lokalen Extrema bei Funktionen mit Klammern.
Wie man normalerweise Extrema berechnet weiß ich, aber irgendwie kann ich hier nicht f ' (x) = 0 berechnen.

Funktion f(x) = x * (x - 2)⁵

f ' (x) = (x - 2)⁵ + 5x (x - 2)⁴  und jetzt halt f ' (x) = 0. Wie mache ich das hier? Muss ich die Klammern irgendwie auflösen?


Danke euch :)

Answer 1

Muss ich die Klammern irgendwie auflösen?

Klammer ist schon mal ein gutes Stichwort: Besser ist es aber, auszuklammern.

Es gilt:$$f'(x)=(x-2)^5+5x(x-2)^4=(x-2)^4[(x-2)+5x]=(x-2)^4(6x-2)$$

Comments

ah und dann einfach diese Nullprodukt-Regel anwenden, sodass entweder (x-2)⁴ oder 6x-2 = 0 ist, stimmt's?

(x-2)^4 = 0 | 4. Wurzel
x-2 = 0 -> x = 2 

6x-2=0 | +2 
6x = 2 | /3 
x = 2/3 

Passt das so? Danke :)

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Yes, du hast es verstanden, außer, dass du durch 6 teilst und dann x=1/3 bekommst.

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Ja klar, habe schneller geschrieben als gedacht :D

Answer 2

Klammere \( (x-2)^4 \) aus, dann siehst Du die Lösungen.

Answer 3

f(x) = x * (x - 2)^5
f ´( x ) = ( x -2)^5 + 5*x*(x - 2)^4
f ´( x ) = ( x - 2)^4 * [ ( x -2) + 5*x ]
f ´( x ) = ( x - 2)^4 * [ ( 6x -2) ]

Satz vom Nullprodukt
x - 2 = 0
x = 2

und
6x - 2 = 0
x = 1/3