Kreis Gleichungen: Kreis Theorie

Question

Aufgabe:

Kreis Gleichungen

Gegeben ist der Kreis k mit Mittelpunkt M(3/2) und Radius 5

Ein Kreis mit Radius 10 berührt k im Punkt Q(7/-1). Berechnen Sie die Koordinaten seines Mittelpunktes.

Problem/ Ansatz:

Gleichungen aufstellen

Answer 1

Text erkannt:

"Gegeben ist der Kreis \( k \) mit Mittelpunkt \( M(3 \mid 2) \) und Radius 5 Ein Kreis mit Radius 10 berührt \( k \) im Punkt \( Q(7 \mid-1) . \) Berechnen Sie die Koordinaten seines Mittelpunktes."
\( k:(x-3)^{2}+(y-2)^{2}=5^{2}=25 \)
Gerade durch \( M(3 \mid 2) \) und \( Q(7 \mid-1): \)
\( \frac{y-2}{x-3}=\frac{-1-2}{7-3}=-\frac{3}{4} \)
Der \( 2 . \) Kreismittelpunkt liegt auf dieser Geraden:
\( y=-\frac{3}{4} x+\frac{17}{4} \)
Kreis um \( Q(7 \mid-1) \)
\( k_{1}:(x-7)^{2}+(y+1)^{2}=100 \)
\( k_{1}:(x-7)^{2}+\left(-\frac{3}{4} x+\frac{17}{4}+1\right)^{2}=100 \)
\( x_{1}=-1 \rightarrow y_{1}=-\frac{3}{4} \cdot(-1)+\frac{17}{4}=5 \)
\( x_{2}=15 \rightarrow y_{2}=-\frac{3}{4} \cdot 15+\frac{17}{4}=-7 \)
Es gibt somit 2 Mittelpunkte: innere und äußere Berührung
\( M_{1}(-1 \mid 5) \)
\( M_{2}(15 \mid-7) \)

mfG  Moliets

Comments

Improvement:
The two circles touch the starting circle in Q (7 | -1).
The starting circle around M (3 | 2) touches the green circle from the inside.
The green and red circles touch each other from the outside.

Kind regards
Moliets

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Dear Moliets,
Thank you, Thank you very, very much for the perfect solution. Thanks a lot for your time too.
Your Solution to that math problem as circle coordinate / normal equations is excellent.
Your sketch is perfect. Exactly what I needed. You’re amazing.
I’m sorry to disturb you but may I ask you if you can write down also the solution to that math problem as analytical geometry (= Vectors)?
That’ll be great. Many thanks in advance.
Best wishes and Happy new Year.
Lukan

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May I help:

\(\overrightarrow{OM_{1,2}}= \overrightarrow{OQ}\pm 2\overrightarrow{MQ}=\begin{pmatrix} 7\\-1 \end{pmatrix} \pm 2\begin{pmatrix} 4\\-3 \end{pmatrix}\)

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Ein Kreis berührt die Kurve f (x)  =  x4 – 3x2 – 4 in ihren beiden Nullstellen.

Berechnen Sie Koordinaten des Kreismittelpunktes.

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Please write down your problems with circles, then I'll see how I can help you.

Kind regards

Moliets

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Ein Kreis berührt die Kurve f (x)  =  x^4 – 3x^2 – 4 in ihren beiden Nullstellen.

x^4 – 3x^2 – 4 = 0

x^4 – 3x^2 =4

(  x^2  - \( \frac{3}{2} \) ) ^ 2 = 4+ \( \frac{9}{4} \)   =  \( \frac{25}{4} \)

1.) x^2  =  \( \frac{3}{2} \) +\( \frac{5}{2} \)  =   4

x₁  =    2

x₂  = - 2

2.) x^2  =  \( \frac{3}{2} \)  -  \( \frac{5}{2} \)   =  -1  =  \( i^{2} \)

x₃ =  i

x₄ = -i

f ´ (x)  =  4  x^3  –  6 x

f ´ (2)  =  4 * 2^3  –  6* 2 = 20

Die Steigung der Tangente in N_1(2|0)  beträgt m_1= 20

Die Steigung der Normalen in N_1(2|0)  beträgt m_2=  - \( \frac{  1}{ 20 } \)

Normalengleichung:

(y- 0 ) / ( x - 2) =  - \( \frac{  1}{ 20 } \)

\( \frac{  y-0 }{ x - 2 } \)   =  - \( \frac{  1}{ 20 } \)

y(x) =  - \( \frac{  1}{ 20 } \) • x + \( \frac{  1}{ 10 } \)

Da f(x)  =  x^4 – 3x^2 – 4 symmetrisch zur y-Achse ist, gilt :

y(0) =  - \( \frac{  1}{ 20 } \) • 0  + \( \frac{  1}{ 10 } \) =  \( \frac{  1}{ 10 } \)

Der Mittelpunkt des gesuchten Kreises ist M( 0 | \( \frac{ 1}{10 } \) )

mfG

Moliets

Text erkannt:

8

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Dear Moliets,
Thank you very much about your detailed solution (even with complex numbers, that I don’t need right now, by the way …) and your great graph sketch.
But I need the logic to this math problem. So, would you please explain the following to me, ‘cause I’m a bit dummy about it:
(1.) Why do I need the tangents equations in the zeropoints and the normal equation to                
those?(!)
(2.)  How exactly are those related to a circle? (!) Please, tell me about it detailed.
I'll appreciate that very much.
Thanks a lot for your effort and for your rush answer.
German Explanation is fine with me.
Best, Lukan

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Zur Erklärung betrachte den Kreis k: x^2+y^2=16

Es soll nun eine Tangente an den Kreis in B(3|-2,65) konstruiert werden.

Das Geradenbüschel im Punkt B(3|-2,65) hat die Funktion:

\( \frac{y-(-2,65)}{x-3} \) =  m

y =   m • x - 3 m - 2,65

y =   m• ( x - 3 ) -  2,65

Diese Geraden haben alle den Punkt B(3|-2,65) gemeinsam aber eine verschiedene Steigung. Schnittpunkte. Bei m=2,1  hast du 2 Schnittpunkte . (In der Zeichnung schwarz).

Bei einer Steigung von m=1,13 ist nur ein Berührpunkt da.

Bei der Tangente darf aber nur ein Schnittpunkt vorhanden sein.

Die Normale steht nun senkrecht auf der Tangente und läuft durch den Mittelpunkt des Kreises.

Eine Gerade durch M(0|0) und B(3|-2,65) hat die Steigung m_N=  - 0,88

Es gilt m_T  •   m_N = - 1

Bezogen auf deine Aufgabe siehst du nun, dass du zuerst die Tangentensteigung bei der Nullstelle berechnen musst.

Die Normale in diesem Punkt geht dann durch den Mittelpunkt des Kreises.

Ich habe "GeoGebra"  als Zeichnungsprogramm auf meinem PC.

mfG

Moliets

Answer 2

[7, -1] - [3, 2] = [4, -3] = 5·[0.8, -0.6]

[3, 2] + 15·[0.8, -0.6] = [15, -7]

Comments

Yeah, I got that too

Thaks but I need the equations to sketch the graph.and not the way around.

So, how do I get those?

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Nice sketch. Which Software do you use for it!

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The Software from this website

https://www.matheretter.de/rechner/geozeichner/

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Many tanks for your link.

Wish you a happy new year

Answer 3

Wenn sich zwei Kreise nur berühren, liegt der Berührungspunkt auf der Gerade durch beide Mittelpunkte (oder der Mittelpunkt des zweiten Kreises auf der Geraden durch den Mittelpunkt des ersten Kreises und den vorgegebenen Berührungspunkt).

Du brauchst also die Gerade MQ und dann auf dieser Geraden diejenigen Punkte, die von Q den Abstand 10 haben.

Einen der zwei möglichen Mittelpunkte hat dir der Mathecoach bereits genannt.

Comments

Well, thanks, I see

But how do I do that? I need the equations to it. Would you please give me those?

Thank you very much in advance.

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Der Radius 10 ist doppelt so groß wie der Radius 5. Du benötigst also (von Q ausgehend) den Vektor \(2 \overrightarrow{MQ} \) bzw. für die zweite Lösung  \(-2 \overrightarrow{MQ} \)

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\(\overrightarrow{OM_{1,2}}= \overrightarrow{OQ}\pm 2\overrightarrow{MQ}=\begin{pmatrix} 7\\-1 \end{pmatrix} \pm 2\begin{pmatrix} 4\\-3 \end{pmatrix}\)