Lösung der DGL x'= x^2-1

Question

Aufgabe:

Lösung der DGL

$$\dot x = x^2-1$$

Problem/Ansatz:

Man macht das mit Separation der Variable da x' = dx/dt

$$\int_{}^{} \! \frac{1}{x^2-1} dx = \int_{}^{} \! \, dt$$

Die linke Seite nun mit partialbruchzerleg. und das ergebnis soll folgendes sein

$$\frac{1}{2} (ln(|1-x|) - ln(1+x)) = t+c$$

Meine Frage:

ich komme aber auf 1/2 ln(x-1) - usw.

wieso ist in der Musterlösung |1-x|?

Comments

∫ 1/x = ln(|x|) + c_i       c₁ (c₂) = Integrationskonstanten in ℝ⁺ (ℝ^-)

Answer 1

Hallo,

Falls Du das meinst:

das ist das Gleiche, nur eine andere Schreibweise:

Es gilt:

|x-1|=|-(-x+1)|

|1-x|=|x-1| , setze Zahlen für x ein, dann siehst Du die Gleichheit.

Ich habe erhalten:

\( -\frac{1}{2} \ln |x+1|+\frac{1}{2} \ln |x-1|=t+c_{1} \)

Schreib Deine eigene Lösung , Musterlösungen sind manchmal "etwas "anders geschrieben,

bedeutet oft das Gleiche, mal von Fehlern in der Musterlösung abgesehen.

Comments

ok ich nutze meine lösung. sowieso wenn es dasselbe ist dann ists in ordnung.

Answer 2

Die Funktion \(f: \mathbb{R}\setminus\{0\}\to \mathbb{R},\,x\mapsto \frac{1}{x}\) ist stetig, hat also eine Stammfunktion.

Die Funktion \(x\mapsto \ln x\) ist nur für \(x > 0\) definiert, kann also nicht auf \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) Stammfunktion von \(f\) sein.

Stammfunktion von \(f\) ist \(F:\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R},\,x\mapsto \ln |x|\).