Wie P(X=1), P(X=2) und P(X=3) bestimmen?

Question

könntet ihr mir vielleicht bei dieser Aufgabe helfen?:

Im Erdgeschoss eines Gebäudes mit 10 Obergeschossen steigen 3 Personen in den Fahrstuhl, die unabhängig voneinander und jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit in einem der 10 Obergeschosse aussteigen. Es steigt niemand dazu. Sei X die Zufallsvariable, welche angibt, wie oft der Fahrstuhl auf dem Weg nach oben hält

a) Bestimmen Sie P(X=1), P(X=2) und P(X=3)

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Fahrstuhl höchstens ins 8. Obergeschoss fährt.

c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mind. 2 Personen im gleichen Stockwerk aussteigen?

Ich habe mir erstmal für die a) überlegt, dass man das ganze ja evt. mit einer Permutation mit Wiederholungen angehen könnte (weil ja auch mehrere Personen in dem gleichen Stockwerk aussteigen können)

Dann hätte ich ja jeweils um die Wahrscheinlichkeit für P(X=1), P(X=2) und P(X=3) 10³ im Nenner stehen, aber irgendwie bin ich mir unsicher, was dann in den Zähler gehört.

und bei Aufgabe b) und c) habe ich leider keine Ahnung:(

Könnt ihr mir vielleicht helfen?

VG

Answer 1

Mach dir erstmal klar was X = 1 im Sachkontext bedeutet. Kannst du das Ereignis beschreiben, wann es eintritt?

Warum kann man die Wahrscheinlichkeit wie folgt berechnen?

P(X = 1) = 10/10·1/10·1/10 = 0.01 = 1%

Comments

es ist wirklich extrem nett, dass du mir nochmal geantwortet hast! Vielen Dank:)

Ich denke, weil die erste Person noch alle Stockwerke zur Verfügung hat um auszusteigen und die beiden anderen jeweils nur noch eines. Aber ich versteh nicht so ganz, bzw. war mir unsicher, ob ich das ganze noch durchpermutieren lassen muss...

Weil ich denke P(X=2) = (10*9*8)/10³  aber muss ich das nicht noch mal 3 nehmen?

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Wäre P = (10*9*8)/10^3 nicht die Wahrscheinlichkeit das alle Personen in verschiedenen Stockwerken aussteigen, es also X = 3 gilt?

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Wie stellst du dir eigentlich deine Ergebnismenge Ω hier vor?

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Oh, ja das stimmt mit P(X=3) dann wäre P(X=2)=(10*9*1)/10^3:)

Und ich stelle mir das so vor:

Ω=PW(3,10) (Ich hoffe das macht sinn)

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Schau mal ob

P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 1

gilt. Wenn nicht überlege wo der Fehler liegt.

Was bedeutet PW(3, 10) genau? Ein Zahlentripel mit Zahlen von 1 bis 10?

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Wir haben Permutationen mit Wiederholungen anhand eines Urnenmodells definiert. (|PW=(n,N)|

N ist die Anzahl der Kugeln und n die Anzahl von den Kugeln die gezogen werden., das habe ich versucht auf diese Aufgabe zu übertragen.

Und bei mir kommt leider nicht 1 raus, zumindest wenn ich nichts durchpermutieren lassen also einfach nur folgende Rechnung mache:
$$P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=\frac{10*1*1+10*9*1+10*9*8}{10^3}\neq1$$

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Ok. Das mit PW(3, 10) stimmt dann so.

Und ich habe mir schon gedacht, dass die Summe nicht 1 ergibt. Weißt du auch wo der Fehler liegt?

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Okay, danke nochmal für deine Hilfe:)

Ich habe aber ehrlich gesagt keinen Plan was falsch sein könnte:(

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P(X = 2) ist verkehrt. Langt der Tipp schon?

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mmmh... ich glaube dann weiß ich was falsch ist. Ich denke, dass ich dann mein Ergebnis für P(X=2) noch mit 3 multiplizieren muss (3über2).

Aber dann müsste ich doch bei P(X=1) auch noch mal 3 rechnen, oder? (3über1)

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Vom Tupel (1,1,1) gibt es nur eine Möglichkeit

Vom Tupel (1,2,2) gibt es aber nach das Tupel (2,1,2) und das Tupel (2,2,1). Daher muss das mal 3 genommen werden.

Daher schreibt dir eventuell immer ein paar Tupel auf die zur Lösung gehören. Dann merkt man das sehr schnell.

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Achsooo jetzt verstehe ich. Ich habe zuerst immer den Fehler gemacht und gedacht, ich müsste beim ersten (10,1,1),(1,1,10) und (1,10,1) nehmen.

Aber müsste ich nicht dann beim Tupel (1,2,3) für P(X=3) noch mal 6 nehmen?

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In 10 * 9 * 8 hast du bereits alle Reihenfolgen mit drin.

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Hi, danke nochmal für deine Hilfe:)

aber wieso darf man sich den P(X=2) dann mittels (1,2,2), (2,1,2) und (2,2,1) vorstellen, aber das ganze nicht auf P(X=3) mit (1,2,3) übertragen?