Konvergent der Reihe 2^k/k!

Question

Aufgabe:

Konvergenz der Reihe ∑ 2^k/k! (Grenzen der Summe von k=1 bis k=unendlich)

Problem/Ansatz:

Ich weiss, dass vermutlich etwas mit e rauskommen muss, da 1/k! = e, jedoch verstehe ich nicht wie ich drauf komme. Wenn ich theoretisch das Quotientenkriterium anwende komme ich auf ∑ (2^(k+1)*k!)/((k+1)!*2^k) dann kann ich 2^k und k! kürzen und würde 2/k+1 erhalten, dass für große k gegen 0 gehen würde. Was ja jedoch falsch ist. Ich verstehen irgendwie nicht, wie ich einige Kriterien nur bei "speziellen" Aufgaben anwenden darf. Für jede Antwort wäre ich dankbar,
Vielen Dank :)

Answer 1

Wenn es nur um Konvergenz oder Divergenz geht: Nimm das Quotientenkriterium.

Aber das hast du ja selbst herausgefunden:

dass für große k gegen 0 gehen würde

Also liegt tatsächlich Konvergenz vor. Die Aufgabe verlangt NICHT (jedenfalls nach dem, was du geschrieben hast) die Berechnung des konkreten Reihenwertes.

Das Ergebnis ist übrigens e²-1.

Comments

Ok vielen Dank und wie bist du auf das Ergebnis gekommen? Das sollte ich nämlich auch berechnen :)

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Ich habe es bei Wolframalpha eingegeben, da wurde e² angegeben (allerdings beginnend mit k=0).