Aloha :)
\(\binom{n}{k}\) ist die Anzahl der Möglichkeiten, aus \(n\) Objekten genau \(k\) Objekte (ohne Zurücklegen) auszuwählen. Nun packst du zu den \(n\) Objekten eines hinzu, hast also \((n+1)\) Objekte. Wenn du daraus nun \((k+1)\) Objekte auswählen möchtest, gibt es 2 Möglichkeiten:
a) Das neue Objekt wird ausgewählt, dann müssen aus den alten \(n\) Objekten noch genau \(k\) weitere ausgewählt werden. Dafür gibt es \(\binom{n}{k}\) Möglichkeiten.
b) Das neue Objekt wird nicht ausgewählt, dann müssen aus den alten \(n\) Objekten genau \((k+1)\) Objekte ausgewählt werden. Dafür gibt es \(\binom{n}{k+1}\) Möglichkeiten.
Zusammengefasst heißt das formal:$$\binom{n+1}{k+1}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}$$
Die zweite Gleichung ist eignetlich sofort klar. Wenn du aus \(n\) Objekten genau \((n-k)\) auswählen möchtest, kannst du genauso gut aus den \(n\) Objekten genau \(k\) Objekte markieren, die du nicht auswählen möchtest. Die Anzahl der Möglichkeiten muss gleich sein:$$\binom{n}{n-k}=\binom{n}{k}$$
Daraus folgt die etwas fummelige Beziehung aus der Aufgabenstellung:$$\binom{n+k-1}{n-1}=\binom{n+k-1}{(n+k-1)-(n-1)}=\binom{n+k-1}{k}$$
