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Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum, und sei V ∗ = Hom(V, K) der Dualraum von V . Sei außerdem f:V → W ein Homomorphismus von endlich-dimensionalen K-Vektorräumen. Wir definieren eine Abbildung f∗ : W∗ → V ∗ durch f∗(l)(v) =l(f(v)) für v ∈ V . Zeige:

1. Die Abbildung f∗ ist linear. (Sie heißt der zu f duale Homomorphismus.)
2. Sei f bezüglich Basen B und C von V und W durch die Matrix (aij) gegeben. Bestimme
die Koordinatenmatrix von f∗ bezüglich der dualen Basen.

Kann mir hier bitte jemand weiterhelfen?
Am besten mit einer Erklärung wie man zu der Lösung kommt.

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WWU Münster , mein Mann!

1 Antwort

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f∗ : W∗ → V∗ durch f∗(l)(v) =l(f(v)) für v ∈ V .

Das bedeutet ja ausführlicher:  Wenn l ∈ W* =Hom(W;K) dann ist l eine lineare Abb. bzw.

ein Homomorphismus von W nach K, manche nennen das auch eine Linearform.

Um diese eindeutig zu bestimmen, muss man für jedes w∈W angeben ist, was l(w) ist.

Entsprechend bei den g∈ V* muss für jedes v ∈ V angegeben sein, was g(v) ist.

Bei f* wird ja nun jedem solchen l ( was durch die w∈W bestimmt ist) ein

g zugeordnet und dieses g ist dann f*(l), und dieses f*(l) muss durch Angabe

der Bilder für jedes v ∈ V bestimmt werden. Das ist durch f∗(l)(v) =l(f(v))

geschehen. In Worten f*(l) hat an der Stelle v, das gleiche Bild wie l an der Stelle f(v).

Zur Linearität musst du ja zeigen: Für alle l,k ∈ W* gilt f*(l+k) = f*(l) + f*(k) .

Es ist also die Gleichheit zweier Abbildungen aus V* zu zeigen. Also muss die

Übereinstimmung der Bilder für alle v ∈ V gezeigt werden. Sei also v ∈ V.

==>    f*(l+k) (v)  Das ist nach Def. von f*

        =  (l+k)(f(v))  Nach Def. der Summe von Abb'ne ist das

       =  l(f(v)) +  k(f(v))  Das ist jetzt die Addition in K.
                                    Wieder Def. von f* gibt

      = f*(l)(v) + f*(k)(v).  Und die Def. der Summe von Abb'en gibt

     = (f*(l) + f*(k)) (v) .

Also stimmen die Bilder von f*(l+k)  und von f*(l) + f*(k)  für alle v ∈ V überein. q.e.d

So ähnlich zeigst du auch für alle x∈K   f*( x·l) = x·f*(l) .

Avatar von 289 k 🚀

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