Beweisaufgabe Vektorräume und Lineare Abbildung: Zeigen Sie, dass (f+g)^v = f^v + g^v und (xf)^v = xf^v

Question

Aufgabe:

Seien \( V, W \) Vektorräume und seien \( f: V \rightarrow \) \( W \) und \( g: V \rightarrow W \) lineare Abbildungen.

1. Zeigen Sie, dass \( (f+g)^{\vee}=f^{\vee}+g^{\vee} \) und \( (x f)^{\vee}=x f^{\vee} \) für alle \( x \in K \).

2. Was bedeutet 1 . für die Abbildung \( \Phi: \operatorname{Hom}(V, W) \rightarrow \operatorname{Hom}\left(W^{\vee}, V^{\vee}\right) \) definiert durch \( \Phi(f)=f^{\vee} ? \)

Comments

hab eine idee ka ob sie richtig ist: Sei f+g = h

=> (f+g)^v= h^v. Da f⊂h und g⊂h => f^v⊂h^v und g^v⊂h und f^v+g^v=h^v=(f+g)^v

Könnte mal jemand pls seinen senf dazu geben? :D

Answer 1

Ich schreibe - wie üblich - \(f^*\) statt \(f^{\vee}\).

1. Für beliebiges \(w\in W^*\) gilt

\((f+g)^*(w)=w\circ (f+g)=w\circ f + w\circ g=\)

\(=f^*(w)+g^*(w)=(f^*+g^*)(w)\).

\((xf)^*(w)=w\circ (xf)=x(w\circ f)=xf^*(w)=(xf^*)(w)\).

2. \(\Phi\) ist eine Vektorraumhomomorphismus.