Vektorräume: Basen, lineare Abbildungen etc.

Question

Es seien im Vektorraum R^4 die Vektoren

u1 = (1,2,3,4)
u2 = (1,-1,1,-1)
u3 = (0, 2, -1, 5)
w1 = (0, 0, 1, 0)
w2 = (0, 3, 2, 5)
w3 = (1, 2, 0, 4)
sowie U = <u1, u2, u3> und W = <w1, w2, w3> gegeben.

(a) Sind die jeweiligen Erzeugendensysteme von U (bzw. W) auch eine Basis von
U (bzw. W)?
(b) Gibt es eine lineare Abbildung φ : U → W mit φ(ui) = wi
für 1 ≤ i ≤ 3?
Falls ja, ist φ injektiv, surjektiv oder bijektiv?
(c) Welche Dimension hat U + W?
(d) Welche Dimension hat U ∩ W?

Answer 1

a) Setze die drei  jeweils in eine Matrix und bestimme mit Gauss den Rang.

Beide rang=3, also sind die 3 jeweils lin. unabh., also Basen

b) Durch Festlegung der Bilder für eine Basis ist eine

lin. Abb. eindeutig bestimmt, also: JA !

c) Setze alle 6 in eine Matrix und bestimme den Rang.

d) Bilde das Gl.system

a*u1 + b*u2 + c*u3 = x*w1 + y*w2 + z*w3

und bestimme die Dimension des Lösungsraumes für abcxyz.

Das ist gleich der Dim des Durchschnitts.

Comments

Ich bedanke mich sehr für diese Antwort. Bei einer der letzten Vorlesungen hatte ich einige Probleme zu folgen und brauchte deshalb einige Ansätze für die Aufgaben des aktuellen Übungsblattes.

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können Sie mir vielleicht nochmal bei Aufgabe b) helfen, ich weiß nicht so recht, was ich damit anfangen soll.