Phasenverschiebung bei Differentialgleichung ausrechnen

Question

Wir betrachten nun wieder die inhomogene Gleichung
\( \ddot{x}(t)+2 \beta \dot{x}(t)+\omega^{2} x(t)=F(t) \)
mit dem Störterm \( F(t)=A \sin (\Omega t+\phi) \).
Nachdem alle Einschwingvorgänge abgeschlossen sind (d.h. bei sehr großen Zeiten \( t \gg 1 \) ) hat die Lösung die Form
\( x(t)=C \sin (\Omega t+\tilde{\phi}) \)
wobei \( C \) dasselbe Vorzeichen hat wie \( A \).
Bestimmen Sie den numerischen Wert der Phasenverschiebung \( \tilde{\phi} \) für \( \Omega=\frac{5}{4} \omega, \) wenn die Konstanten durch \( \beta=0,7, \omega=4,3 \) und \( \phi=0,4 \) gegeben sind. \( \tilde{\phi} \) soll im Intervall \( (-\pi, \pi] \) liegen.

Problem/Ansatz:

Mir ist nicht klar, wie ich einen dezimalen Wert bekommen soll, wenn mir weder die Faktoren C und A noch Anfangsbedingungen für die Differentialgleichungen bekannt sind.

Answer 1

Hallo,

die Amplituden haben keinen Einfluss auf die Phasenverschiebung, das zeigt sich auch in der Rechnung.

Setzte den Ansatz

\(x(t)=C \sin (\Omega t+\tilde{\phi}) \)

in die DGl ein. Nach ein wenig Umformung steht da:

\( [\omega^2-\Omega^2]sin(\Omega t+\tilde{\phi})-(-2\beta \Omega)cos(\Omega t +\tilde{\phi})=\frac{A}{C}sin(\Omega t+\phi)\)

Nun gilt folgende Regel:

\(A'sin(x)-B'cos(x)=Rsin(x-\alpha),R= \sqrt{A'^2+B'^2},\alpha = arctan(\frac{B'}{A'}) \)

Damit lässt sich die linke Seite der Gleichung umformen zu:

\(\sqrt{(\omega^2 -\Omega^2)^2+4\beta^2 \Omega^2 }sin(\Omega t +\tilde{\phi}-arctan(\frac{-2\beta\Omega}{\omega^2-\Omega^2})=\frac{A}{C}sin(\Omega t+\phi)\)

Für die Phasen gilt somit somit:

\( \tilde{\phi}= \phi + arctan(\frac{-2\beta\Omega}{\omega^2-\Omega^2}) \)