Aloha :)
$$\begin{array}{rrrr|l}x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & \text{Aktion}\\\hline3 & -4 & 6 & -2\alpha^2+2 & +\frac{2}{3}\cdot\text{Zeile 3}\\3\alpha & -6\alpha+1 & 6\alpha & -3\alpha^3+3\alpha\\0 & 6 & 0 & 3\alpha^2-3 & :3\\\hline3 & 0 & 6 & 0 & :3\\3\alpha & -6\alpha+1 & 6\alpha & -3\alpha^3+3\alpha & -\alpha\cdot\text{Zeile 1}\\0 & 2 & 0 & \alpha^2-1 & \\\hline1 & 0 & 2 & 0 & \\0 & -6\alpha+1 & 0 & -3\alpha^3+3\alpha & +3\alpha\cdot\text{Zeile 3}\\0 & 2 & 0 & \alpha^2-1 & \\\hline1 & 0 & 2 & 0 & \\0 & 1 & 0 & 0 &\\0 & 2 & 0 & \alpha^2-1 & -2\cdot\text{Zeile 2}\\\hline1 & 0 & 2 & 0 & \\0 & 1 & 0 & 0 &\\0 & 0 & 0 & \alpha^2-1 & \\\hline\hline\end{array}$$Wir entnehmen daraus folgende Gleichungen:$$x_1+2x_3=0\;\text{bzw.}\; x_1=-2x_3\quad;\quad x_2=0\quad;\quad (\alpha^2-1)\cdot x_4=0$$
1. Fall \(\alpha\ne\pm1\):
Damit die letzte Gleichung erfüllt ist, muss \(x_4=0\) gelten. Die Lösungen sind daher:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2x_3\\0\\x_3\\0\end{pmatrix}=x_3\begin{pmatrix}-2\\0\\1\\0\end{pmatrix}$$In diesem Fall ist die Lösungsmenge eine Gerade im \(\mathbb R^4\).
2. Fall \(\alpha=\pm1\):
Die letzte Gleichung ist immer whar, daher ist \(x_4\) beliebig und die Lösungen lauten nun:
$$\begin{pmatrix}-2x_3\\0\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2x_3\\0\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=x_3\begin{pmatrix}-2\\0\\1\\0\end{pmatrix}+x_4\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}$$In diesem Fall ist die Lösungsmenge eine Ebene im \(\mathbb R^4\).
