Zeigen Sie, dass für alle v ∈ V gilt:

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper. Für einen Unterraum U eines K-Vektorraums V definieren wir
Ann_V(U) := {φ ∈ V* : φ|_U = 0}.
Wir betrachten nun den Homomorphismus ˆ : V → V** definiert durch v ↦(v' : φ ↦ φ(v)).
Zeigen Sie, dass für alle v ∈ V gilt:
v' ∈ Ann_V* (Ann_V(U)) genau dann, wenn v∈ ∩_φ∈Ann_V(U)  Kern(φ)φ

(das letze Symbol soll ein großes Vereinigungszeichen sein. Darunter steht φ∈Ann_V(U), neben dem Zeichen soll Kern(φ) stehen. Leider wusste ich nicht wie ich das anders darstellen sollte. Ich hoffe man versteht was ich meine)

Problem/Ansatz:

Ich bin etwas überfordert mit dieser Aufgabe. Ich weiß bei Beweisen oft nicht wie ich starten soll. Kann mir jemand mit einem Ansatz oder einer Idee helfen?

Comments

"soll ein großes Vereinigungszeichen"

Bist Du sicher - nicht Durchschnitt? Sonst poste doch mal ein Foto von diesem Teil des Textes

Gruß

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Ohh, ich hab mich vertan! Es soll ein Durchschnittszeichen sein.

Answer 1

Hallo,

das ist zwar kompliziert, aber nicht schwierig. Ein Problem ist wohl, dass man "gleichzeitig" 3 Räume im Auge haben muss: Den Grund-Vektorraum V, den Raum \(V^{\ast}\) der linearen Funktionale \(\phi:V^{\ast} \to K\) und schließlich noch den Raum \(V^{\ast \ast}\) der linearen Funktionale auf \(V^{\ast}\). Außerdem wird für jedes Element \(v \in V\) ein spezielles Element aus \(V^{\ast \ast}\) definiert, benannt als \(v'\) (so sieht es jedenfalls in Deiner Aufgabenstellung aus.) Dieses \(v'\) ist also eine lineare Abbildung, die jedem \(\phi \in V^{\ast}\) eine Element aus K zuordnet, und zwar durch folgende Vorschrift: \(v'(\phi):=\phi(v)\).

Jetzt zur Behauptung (ich kürze Ann ab durch A)

$$v' \in A_{V^{\ast}}(A_V(U)) \iff \forall \phi \in A_V(U): 0=v'(\phi) \text{  (Definition von } A_{V^{\ast}}$$

$$\iff \forall \phi \in A_V(U): 0=v'(\phi)=\phi(v) \text{  (Definition von } v'$$

$$\iff \forall \phi \in A_V(U): \quad v \in \text{Kern}(\phi) \text{ ( Definition von Kern}$$

$$\iff \bigcap_{\phi \in A_V(U)} \text{Kern}(\phi)$$

Comments

Ich verstehe was du gemacht hast, da wäre ich aber nie von alleine drauf gekommen. Vielen Dank!