Bestimmen sie die darstellende Matrix M BC (f)

Question

Aufgabe:

Seien a∈ℝ und f: ℝ⁴ → ℝ³ die lineare Abbildung mit f (1 0 0 1) = (1 0 a), f (0 1 1 0) = (0 1 a), f (0 0 0 1) = (0 0 1), f (1 0 -1 1) = (a a 0) . Bestimmen sie die darstellende Matrix M ^B_C (f), wobei

B= ((1 0 0 0), (1 1 0 0), (1 1 1 0), (1 1 1 1)) und C= ((1 0 0), (1 0 -1), (0 1 1)) Beweis eine Basis bilden.

Problem/Ansatz:

Ich weiss nicht wie ich hier anfangen soll, da keine genau angegebene Funktionsvorschrift gibt oder kann man sich die aus den oben angeführten Vektoren ableiten.

Normalerweise hatten wir eine Funktionvorschrift und haben dann für die Basis Vektoren B die Funktionswerte ausgerechnet und die als Linear Kombination der Basisvektoren c dargestellt und das LGS aufgelöst um so die Multiplikatoren der Linear Kombi zu erhalten

Answer 1

Aloha :)

Wir suchen zunächst die Abbildungsmatrix \(M\) bezüglich der Einheitsbasen. Wir wissen:

$$M\!\!\left(\begin{array}{r}1\\0\\0\\1\end{array}\right)\!=\!\left(\begin{array}{r}1\\0\\a\end{array}\right)\;;\;M\!\!\left(\begin{array}{r}0\\1\\1\\0\end{array}\right)\!=\!\left(\begin{array}{r}0\\1\\a\end{array}\right)\;;\;M\!\!\left(\begin{array}{r}0\\0\\0\\1\end{array}\right)\!=\!\left(\begin{array}{r}0\\0\\1\end{array}\right)\;;\;M\!\!\left(\begin{array}{r}1\\0\\-1\\1\end{array}\right)\!=\!\left(\begin{array}{r}a\\a\\0\end{array}\right)$$Diese 4 Gleichungen können wir zu einer Matrix-Gleichung zusammenfassen:

$$M\left(\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & -1\\1 & 0 & 1 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 0 & a\\0 & 1 & 0 & a\\a & a & 1 & 0\end{array}\right)$$und diese nach \(M\) umstellen:

$$M=\left(\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 0 & a\\0 & 1 & 0 & a\\a & a & 1 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & -1\\1 & 0 & 1 & 1\end{array}\right)^{-1}$$$$\phantom{M}=\left(\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 0 & a\\0 & 1 & 0 & a\\a & a & 1 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrrr}1 & -1 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\-1 & 0 & 0 & 1\\0 & 1 & -1 & 0\end{array}\right)$$$$M=\left(\begin{array}{rrrr}1 & a-1 & 1-a & 0\\0 & a+1 & -a & 0\\a-1 & 0 & a & 1\end{array}\right)$$Diese Abbildungsmatrix ist diejenige bezüglich der Standardbasis \(E\), also \(M={_E}M_E\). Den geforderten Basiswechsel berechnen wir so:

$${_C}M_B={_C}\operatorname{id}_E\cdot{_E}M_E\cdot{_E}\operatorname{id}_B$$$$\phantom{{_C}M_B}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\\0 & -1 & 1\end{array}\right)^{-1}\cdot\left(\begin{array}{rrrr}1 & a-1 & 1-a & 0\\0 & a+1 & -a & 0\\a-1 & 0 & a & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1\\0 & 1 & 1 & 1\\0 & 0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$$$\phantom{{_C}M_B}=\left(\begin{array}{rrr}1 & -1 & 1\\0 & 1 & -1\\0 & 1 & 0\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rrrr}1 & a-1 & 1-a & 0\\0 & a+1 & -a & 0\\a-1 & 0 & a & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1\\0 & 1 & 1 & 1\\0 & 0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$$${_C}M_B=\left(\begin{array}{rrrr}a & a-2 & 2a-1 & 2a\\1-a & 2 & 2-2a & 1-2a\\0 & a+1 & 1 & 1\end{array}\right)$$

Bitte nochmal alles nachrechnen, ich habe nur 1-mal durchgerechnet...

Comments

ich habe mich leider bei der Basis B vertippt. Aber vielen Dank schonmal

B=((1 0 0 0), (1 1 0 0), (1 1 1 0), (1 1 1 1))

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Ich weiß, das habe ich in meiner Lösung aber bereits berücksichtigt und eine Auto-Korrektur durchgeführt ;) Mit anderen Worten, meine Antwort muss nicht abgeändert werden.

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Vielen Dank für die ausführliche Antwort. Ich hab die Thematik auf jeden fall jetzt noch besser verstanden

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kannst du mir vielleicht das generelle vorgehen erklären, wie du die Matrizen bestimmt hast. das verwirrt mich noch etwas

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Welche Matrizen meinst du denn konkret? Die \(\mathbf{id}\)-Matrizen zur Basistransformation?

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Vielleicht was genau die Formel Ausdrückt, das würde mich glaube ich helfen für das Verständnis.

Answer 2

Dein B ist keine Basis des R⁴

Vielleicht hilft auch das hier

https://www.mathelounge.de/796029/bestimmung-der-basiswechselmatrix

schon weiter?

Comments

ich habe mich tatsächlich vertippt.

B=((1 0 0 0), (1 1 0 0), (1 1 1 0), (1 1 1 1))