Aloha :)
Wir suchen zunächst die Abbildungsmatrix \(M\) bezüglich der Einheitsbasen. Wir wissen:
$$M\!\!\left(\begin{array}{r}1\\0\\0\\1\end{array}\right)\!=\!\left(\begin{array}{r}1\\0\\a\end{array}\right)\;;\;M\!\!\left(\begin{array}{r}0\\1\\1\\0\end{array}\right)\!=\!\left(\begin{array}{r}0\\1\\a\end{array}\right)\;;\;M\!\!\left(\begin{array}{r}0\\0\\0\\1\end{array}\right)\!=\!\left(\begin{array}{r}0\\0\\1\end{array}\right)\;;\;M\!\!\left(\begin{array}{r}1\\0\\-1\\1\end{array}\right)\!=\!\left(\begin{array}{r}a\\a\\0\end{array}\right)$$Diese 4 Gleichungen können wir zu einer Matrix-Gleichung zusammenfassen:
$$M\left(\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & -1\\1 & 0 & 1 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 0 & a\\0 & 1 & 0 & a\\a & a & 1 & 0\end{array}\right)$$und diese nach \(M\) umstellen:
$$M=\left(\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 0 & a\\0 & 1 & 0 & a\\a & a & 1 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & -1\\1 & 0 & 1 & 1\end{array}\right)^{-1}$$$$\phantom{M}=\left(\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 0 & a\\0 & 1 & 0 & a\\a & a & 1 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrrr}1 & -1 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\-1 & 0 & 0 & 1\\0 & 1 & -1 & 0\end{array}\right)$$$$M=\left(\begin{array}{rrrr}1 & a-1 & 1-a & 0\\0 & a+1 & -a & 0\\a-1 & 0 & a & 1\end{array}\right)$$Diese Abbildungsmatrix ist diejenige bezüglich der Standardbasis \(E\), also \(M={_E}M_E\). Den geforderten Basiswechsel berechnen wir so:
$${_C}M_B={_C}\operatorname{id}_E\cdot{_E}M_E\cdot{_E}\operatorname{id}_B$$$$\phantom{{_C}M_B}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\\0 & -1 & 1\end{array}\right)^{-1}\cdot\left(\begin{array}{rrrr}1 & a-1 & 1-a & 0\\0 & a+1 & -a & 0\\a-1 & 0 & a & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1\\0 & 1 & 1 & 1\\0 & 0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$$$\phantom{{_C}M_B}=\left(\begin{array}{rrr}1 & -1 & 1\\0 & 1 & -1\\0 & 1 & 0\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rrrr}1 & a-1 & 1-a & 0\\0 & a+1 & -a & 0\\a-1 & 0 & a & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1\\0 & 1 & 1 & 1\\0 & 0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$$${_C}M_B=\left(\begin{array}{rrrr}a & a-2 & 2a-1 & 2a\\1-a & 2 & 2-2a & 1-2a\\0 & a+1 & 1 & 1\end{array}\right)$$
Bitte nochmal alles nachrechnen, ich habe nur 1-mal durchgerechnet...