Bestimmen Sie die Menge der Vektoren, welche isotrop bezüglich jeden (ℚ3, qa) sind.

Question

Aufgabe:

Für jedes a∈ℚ sei der quadratische Raum (ℚ³, q_a) gegeben, wobei

q_a: ℚ³ → ℚ, v → v^t * \( \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & a \end{pmatrix} \) *v.

Bestimmen Sie die Menge der Vektoren, welche isotrop bezüglich jeden (ℚ³, q_a) sind.

Problem/Ansatz:

Ich weis, dass ein Vektor v isotrop heißt, wenn q(v)=0 ist. Muss ich jetzt einfach die Matrix nehmen und gleich 0 setzen? Oder muss ich das v^t vorne und das v hinter der Matrix mitbeachten?

Answer 1

Es ist \(q_a(x,y,z)=2(x+z)y+az^2\). Ist nun \(v=(x,y,z)\) bzgl. \(q_a\) isotrop

für alle \(a\in\mathbb{Q}\), dann gelten insbesondere

\(q_0(v)=q_1(v)=0\), also \(2(x+z)y=0\) und \(2(x+z)y+z^2=0\).

Hieraus folgt: \(z=0\wedge (x=0\vee y=0\)).

Die Menge aller für jedes \(a\) isotropen Vektoren ist also

\(\mathbb{Q}(1,0,0)\cup \mathbb{Q}(0,1,0)\).