Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte.

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion \( f(x)=-\frac{65}{8 e^{-\frac{3}{x}}-5} \)
Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte. Geben Sie im Falle eines uneigentlichen Grenzwertes inf für \( \infty \) und minf für \( -\infty \)
an.
\( \lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} f(x)= \)
\( \lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}} f(x)= \)
\( \lim \limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)= \)
\( \lim \limits_{x \rightarrow-\infty} f(x)= \)

Answer 1

Leider hast du überhaupt nicht geschrieben, welchen Ansatz du gefunden hast, so dass ich nicht weiß, wie weit dein Wissen über Grenzwerte gediehen ist.

Wahrscheinlich weißt du, dass es verschiedene Grenzwertsätze gibt (für Summen, Differenzen, Produkte und Brüche). Du musst den Term mit x betrachten und dir überlegen, wohin f(x) geht, wenn sich der Wert x ändert. Eine praktische Methode besteht auch darin, mit dem Taschenrechner zB große Zahlen wie 100 und 1000 einzusetzen, um zu sehen, wohin f(x) geht. Dann bekommst du auch ein Gefühl für Grenzwerte. Bei x-Werten, die nicht definiert sind, näherst du dich zB mit 1/100 oder 1/1000.

Zu deiner Aufgabe:

x -> 0+: e^-3/x geht gegen Null, (fällt also weg): es bleibt übrig der Bruch -65 / (-5) = 13. Der Grenzwert ist also 13

x -> 0-: wegen der negativen x-Werte, kürzt sich das Minuszeichen und man erhält den Term e^3/x; dieser wächst ins Unendliche für kleine x-Werte, so dass der Gesamtbruch gegen Null strebt. Der Grenzwert ist also 0.

x -> +∞: e^-3/x geht gegen 1, also haben wir den Bruch -65 / (8-5) = 21 2/3 (21,67). Der Grenzwert ist also 21,67.

Denselben Grenzwert haben wir bei x -> - ∞