Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte der Funktion.

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion \( f(x)=\frac{x^{2}+x-12}{x^{3}+4 x^{2}-16 x-64} \)
Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte der Funktion. Geben Sie im Falle eines uneigentlichen
Grenzwertes inf für \( \infty \) und minf für \( -\infty \) an.
\( \lim \limits_{x \rightarrow-4^{+}} f(x)= \)
\( \lim \limits_{x \rightarrow-4^{-}} f(x)= \)

Answer 1

Zähler: (x+4)(x-3)

Nenner: (x+4)(x²-16)

Answer 2

Aloha :)

Wir betrachten links- und rechtsseitigen Grenzwert der Funktion \(f\) gegen \((-4)\).$$f(x)=\frac{x^2+x-12}{x^3+4x^2-16x-64}$$Im Zähler verwenden wir zur Faktorisierung den Satz von Vieta. Wir brauchen zwei Zahlen mit Summe \(1\) und Produkt \((-12)\). Das leisten die Zahlen \(4\) und \((-3)\).$$x^2+x-12=(x+4)(x-3)$$Die Nullstellen des Zählers sind also \((-4)\) und \(3\). Da der Grenzwert für \(x\to-4\) untersucht werden soll, probieren wir mal durch Einsetzen, ob der Nenner für \(x=-4\) zu null wird. Und siehe da, es passt. Wir können im Nenner also \((x+4)\) ausklammern:$$x^3+4x^2-16x-64=x^2(x+4)-16(x+4)=(x^2-16)(x+4)$$Mit der dritten binomischen Formel ist weiter \((x^2-16)=(x-4)(x+4)\). Also gilt:$$f(x)=\frac{(x+4)(x-3)}{(x+4)^2(x-4)}=\frac{\cancel{(x+4)}(x-3)}{\cancel{(x+4)}(x+4)(x-4)}=\frac{x-3}{(x+4)(x-4)}$$Für \(x\to-4\) sind \((x-3)\) und \((x-4)\) negativ. Damit gilt:$$\lim\limits_{x\nearrow-4}f(x)=-\infty\quad;\quad\lim\limits_{x\searrow-4}f(x)=+\infty$$

~plot~ (x^2+x-12)/(x^3+4x^2-16x-64) ; x=-4 ; [[-8|1|-4|4]] ~plot~