Ableitungen von (-2x/t)*e^{tx}

Question

wie kommt man am besten auf die erste und zweite Ableitung von f (x)=(-2x/t)*e^{tx} bzw. was sind diese?  

Answer 1

f ' ( x ) = [ ( - 2 x / t ) * e ^{t x}  ] '

kann auch geschrieben werden als:

= [ ( - 2 / t ) * x * e ^{t x}  ] '

Konstante ( - 2 / t ) vor die Ableitung ziehen:

= ( - 2 / t ) * [  x * e ^{t x}  ] '

Inhalt der eckigen Klammer ableiten (Produkt- und Kettenregel):

= ( - 2 / t ) * [ 1 * e ^{t x} + x * t * e ^{t x} ]

e ^{t x} ausklammern:

= ( - 2 / t ) * ( 1 +  x t ) * e ^{t x}

Klammern ausmultiplizieren:

= ( ( - 2 / t ) - 2  x ) * e ^{t x}

 

Bei der zweiten Ableitung geht man am besten von der Form ( - 2 / t ) * ( 1 +  x t ) * e ^{t x} der ersten Ableitung aus:

f ' ' ( x ) = [ ( - 2 / t ) * ( 1 +  x t ) * e ^{t x} ] '

= ( - 2 / t ) * [ ( 1 +  x t ) * e ^{t x} ] '

= ( - 2 / t ) * [ t * e ^{t x} + ( 1 + x t ) * t * e ^{t x} ]

= ( - 2 / t ) * t * ( 1 + ( 1 + x t ) ) * e ^{t x}

= - 2 * ( 2 + x t ) * e ^{t x}

= ( - 4 - 2 x t ) * e ^{t x}

Answer 2

Ableitung mit Produkt und Kettenregel ergibt:

f(x) = (- 2·x/t)·e^{t·x}

f'(x) = - e^{t·x}·(2·x + 2/t)

f''(x) = - e^{t·x}·(2·t·x + 4)

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