Lösen von Gleichungen mit Parameter 0,5x²+tx-t

Question

Wenn die Aufgabe lautet : Löse die gleichungen nach x auf und vereinfache wie möglich..


bei der gleichung 0,5x²+tx-t=0  müsste ich jetzt die PQ formel anwenden.. und dafür müsste ich erst die 0,5 dividieren. aber wie kann man t : 0,5 machen ? also eine zahl durch eine variable?

Answer 1

 

f(x) = 0,5x² + tx - t = 0

Du kannst die Variable t ganz einfach so durch 0,5 teilen:

x² + t/0,5 * x - t/0,5 =

x² + 2t*x - 2t

Und jetzt kannst Du ganz normal die pq-Formel anwenden:

x_1,2 = -t ± √(t² + 2t)

Abhängig von der Diskriminante t² + 2t erhältst Du jetzt

zwei Lösungen, wenn t² + 2t > 0

eine Lösung, wenn t² + 2t = 0

keine Lösung, wenn t² + 2t < 0

 

Besten Gruß

Comments

Danke für diese ausführliche antwort ! :)

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Sehr gern geschehen!

Danke für den Stern :-)

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Das heißt also das ich keinen wirklichen x wert als zahl bestimmen kann wenn ich t "nicht" kenne bzw. keine zahl als t einsetze ?

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Richtig! Wenn Du einen Funktionsplotter hast (hier auf dieser Seite gibt es einen Button "Funktionsplotter"), dann kannst Du ja einmal die Funktion f(x) mit verschiedenen t-Werten eingeben.

Du wirst dann wahrscheinlich sehen, dass sich diese Funktionen zwar ähneln, aber eben doch voneinander unterscheiden, auch in den Nullstellen!

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Jetzt fehlt noch den "verbotenen Bereich" von t anzugeben.

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Und wen man mit so einer Art  X-wert den Y-Kordinaten ermitteln müsste, wie würde man vorgehen ? einfach -t ± √ t² +2t als x wert einsetzen?

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Ich verstehe die Frage nicht ganz.

Wenn Du

-t ± √(t² + 2t)

als x-Wert einsetzt, erhältst Du die Nullstellen der Funktion.

Wäre zum Beispiel

t = 0, dann folgte Nullstelle an x = 0, und Schnittstelle mit y-Achse y = 0

Wäre

t = 1, dann folgte Nullstellen an x₀ = -1 + √3 und x₁ = -1 - √3, und Schnittstelle mit y-Achse y = 1

Wäre 

t = 2, dann folgte Nullstellen an x₀ = -2 + √8 und x₁ = -2 - √8, und Schnittstelle mit y-Achse y = -2

etc. 

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Ja genau. Wenn das z.B. eine Extremstelle wäre müsste man ja auch den Y-Kordinaten des Extrempunktes bestimmen. Das wäre meine Frage wenn ich bei der Erschließung des X-Wertes für Extrempunkte zu so einem X-Wert gekommen wäre : -t ± √(t2 + 2t). Wie würde ich dann den Y-Kordinaten ermitteln. Meine frage davor war wohl etwas unkonkret , sry !

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zuerst musst du dich für einen bestimmten wert entscheiden, den du für t einsetzt. z.b. t = 1

dieser wert kommt in die gleichung f(x) = 0,5x² + tx - t.

f(x) = 0,5x² + x - 1

jetzt kannst du den graphen zeichnen, extrempunkte bestimmen, etc.

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Kein Problem.

Wenn Du einen x-Wert ermittelt hast, um zum Beispiel ein Extremum zu finden, und wenn in Deinem x-Wert nach wie vor t oder t² oder was auch immer als unbekannte Konstante vorkommt, dann musst Du diese Konstante auch in den y-Wert "hinüberschleppen".

 

Suchen wir beispielsweise ein Extremum für Deine Funktion

f(x) = 0,5x² +tx - t

Dann lautet die erste Ableitung

f'(x) = 2x + t

Denn t wird wie eine normale Zahl behandelt.

f''(x) = 2

Notwendige Bedingung für Minimum ist f'(x) = 0

2x + t = 0

2x = -t

x = -t/2

Hinreichende Bedingung für Minimum ist f''(x) > 0

f''(-t/2) = 2 > 0

 

Wir haben also an der Stelle x = -t/2 ein Minimum der Funktion f(x).

Um die y-Koordinate zu finden (jetzt sind wir endlich bei Deiner Frage), müssen wir diesen x-Wert in die Ausgangsfunktion einsetzen:

f(x) = 0,5x² + tx - t

f(-t/2) = 0,5 * (-t/2)² + t * (-t/2) - t = 0,5 * t²/4 - t²/2 - t = t²/8 - 4t²/8 - t = t²/2 - t

 

Wenn ich mich nicht verrechnet habe, hat die Funktion also im Punkt

(-t/2 | t²/2 - t)

ein Minimum.

 

Ich fürchte aber, ich habe mich verrechnet :-(

Aber die Vorgehensweise an sich ist richtig.

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P.S.:

Diese ganzen unübersichtlichen Rechnungen spart man sich natürlich, wenn man sich von vornherein für ein t entscheidet, wie gorgar oben schreibt :-)

Answer 2

\(0,5x^2+tx-t=0 | \cdot 2\)

\(x^2+2tx-2t=0 \)

\(x^2+2tx+(\frac{2t}{2})^2=2t +(\frac{2t}{2})^2\)

\((x+t)^2=2t +t^2  |±\sqrt{~~}\)

\(1.)\)

\(x+t=\sqrt{2t +t^2}\)

\(x_1=-t+\sqrt{2t +t^2}\)

\(2.)\)

\(x+t=-\sqrt{2t +t^2}\)

\(x_2=-t-\sqrt{2t +t^2}\)