Stetigkeit von f(x)=5x^2 - 3 in einem Punkt a e R mit dem e-delta-Kriterium

Question

Kann mir jemand einen tipp geben wie ich hier genau vorgehen muss?

laut definition ist ja dann | x- a| < delta

                                 und | f(x) - f(a) | < epsilon

daher müsste ja stehen :

|  (5x^2  - 3)  - ( 5a^2  - 3) | < epsilon
und

| 5x -3 -   5a -3 | < delta
stimmt das ? und wie rechne ich weiter ?
Ich habe leider immer noch nicht ganz verstanden was man hier erreichen will.

Answer 1

f(x) ist stetig an der Stelle x=a, a∈ℝ, wenn zu jedem ε>0 ein δ>0 existiert, so daß für alle x

mit |x - a| < δ gilt  |f(x) - f(a)| < ε

Sei also ε > 0 gegeben.

|f(x) - f(a)| = |(5x² - 3) - (5a² -3)| = 5|x² - a²| = 5|x - a| * |x + a| ≤ 5δ|x - a +2a| ≤ 5δ(|x - a| + |2a| ≤ 5δ(δ + 2|a|)

Wähle nun δ = min{1, ε/5(1 + 2|a|)}

Dann folgt |f(x) - f(a)| ≤ 5δ(δ + 2|a|) ≤ 5δ(1 + 2|a|) ≤ 5ε(1 + |a|)/5(1 + |a|) = ε

und damit die Behauptung.