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Mahlzeit,

ich soll das Minimalpolynon bestimmen, aber habe keine Ahnung wie ich mit der dritten Wurzel umgehen soll.

Hoffentlich kann mir da jemand helfen, vielen Dank im Voraus :)

Aufgabe:

M in(√2 + 3√2, Q)

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Sei \(\alpha=\sqrt{2}+\sqrt[3]{2}\). Dann ist \(\alpha-\sqrt{2}=\sqrt[3]{2}\).

Dies liefert \(\alpha-\sqrt{2})^3=2\Rightarrow \alpha^3+6\alpha-2=\sqrt{2}(3\alpha^2+2)\).

Quadrieren dieser Gleichung und ordnen nach Potenzen ergibt

\(\alpha^6-6\alpha^4-4\alpha^3+12\alpha^2-12\alpha-4=0\).

Damit ist \(Min=X^6-6X^4-4X^3+12X^2-12X-4\).

Man kann sich unschwer überlegen, dass der Grad

der Körpererweiterung \([Q(\alpha):Q]=6\) ist, so dass das

Polynom geringsten Grad hat und daher das Minimalpolynom

sein muss. ( Berechnungen ohne Gewähr ).

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