Sei \(\alpha=\sqrt{2}+\sqrt[3]{2}\). Dann ist \(\alpha-\sqrt{2}=\sqrt[3]{2}\).
Dies liefert \(\alpha-\sqrt{2})^3=2\Rightarrow \alpha^3+6\alpha-2=\sqrt{2}(3\alpha^2+2)\).
Quadrieren dieser Gleichung und ordnen nach Potenzen ergibt
\(\alpha^6-6\alpha^4-4\alpha^3+12\alpha^2-12\alpha-4=0\).
Damit ist \(Min=X^6-6X^4-4X^3+12X^2-12X-4\).
Man kann sich unschwer überlegen, dass der Grad
der Körpererweiterung \([Q(\alpha):Q]=6\) ist, so dass das
Polynom geringsten Grad hat und daher das Minimalpolynom
sein muss. ( Berechnungen ohne Gewähr ).
