Zeigen Sie, dass die Folge gleichmäßig gegen die Betragsfunktion konvergiert.

Question

Aufgabe:

Für \( n \in \mathbb{N} \) und \( x \in \mathbb{R} \) sei \( f_{n}(x):=\sqrt{x^{2}+1 / n} \) Zeigen Sie, dass die Folge \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) gleichmäßig gegen die Betragsfunktion konvergiert.

Könnt ihr uns bei dieser Aufgabe helfen? Wir wissen nicht, wie wir das anstellen sollen.

Liebe Grüße

Answer 1

Text erkannt:

\( f_{n}(x)=\sqrt{x^{2}+\frac{1}{n}} \)
\( f_{1}(x)=\sqrt{x^{2}+\frac{1}{1}}=\sqrt{x^{2}+1} \)
\( f_{2}(x)=\sqrt{x^{2}+\frac{1}{2}} \)
\( f_{3}(x)=\sqrt{x^{2}+\frac{1}{3}} \)
\( f_{10}(x)=\sqrt{x^{2}+\frac{1}{10}} \)
\( \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \)
\( f_{n}(x)=\sqrt{x^{2}+\frac{1}{n}} \)
\( \sqrt{ } \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt{x^{2}+\frac{1}{n}} \rightarrow \sqrt{x^{2}+0}=\sqrt{x^{2}}=|x| \)