Wie prüfe ich ob f ein Endomorphismus ist?

Question

Unsere Aufgabenstellung ist zu prüfen, ob f ein Endomorphismus von ℂ^2x2 ist.

Für A ∈ ℂ^2x2  soll c(A) den Koeffizienten oben rechts von A bezeichnen.

f : ℂ^2x2   → ℂ^2x2 , A ↦ A^T + 2ic(A)A

Ich bin mir nicht sicher, wie ich nun beweisen kann, dass f ein Endomorphismus ist.

Dass der Bildraum der Gleiche ist wie der Urbildraum ist hier ersichtlich, da ja ℂ^2x2 auf ℂ^2x2  abgebildet wird.

Was genau muss ich nun prüfen, um zu zeigen , dass f ein Endomorphismus ist?

Zunächst wollte ich nun prüfen, ob f(A+λB) = f(A) + λf(B) ist. Aber schon hier bekomme ich keinen vernünftigen Ansatz.

Als f(A) habe ich folgende Matrix erstellt:

$$\text{ Sei A: } \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$

$$f(A) = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}+2ib\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$

Ist das so richtig?

Ich würde dann alles durchrechnen, komme aber irgendwie zu dem Ergebnis, dass f(A+λB) ≠ f(A) + λf(B) ist. Linearität ist damit nicht gegeben?

Stecke hier fest. Ich bin mir auch nicht sicher, wie ich die Darstellende Matrix erstellen soll... vielleicht habt Ihr da auch einen Tipp? Danke...

Gruss Christiane

Answer 1

Hallo,

Du hast recht, es ist kein Endomorphismus. Um das als Lösung für die Aufgabe darzustellen, kann man sich auf einen einfachen Fall beschränken, etwa:

$$A:=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$$

Dann ist

$$f(A)=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}+2i\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$$

$$f(2A)=\begin{pmatrix}0&0\\2&0\end{pmatrix}+4i\begin{pmatrix}0&2\\0&0\end{pmatrix}$$

$$2f(A)=\begin{pmatrix}0&0\\2&0\end{pmatrix}+4i\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$$

Also \(f(2A) \neq 2f(A)\), d.h. f ist nichtlinear.

Gruß

Comments

Super! Kann ich denn dann trotzdem Eigenwerte bestimmen?

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"Eigenwerte" und "Eigenvektoren" sind zunächst nur für lineare Abbildungen definiert.

Gruß

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Das ist komisch, weil wir genau die Eigenwerte und Basen für die Eigenvektoren bestimmen sollen (Aufgabenteil b) und in Aufgabenteil c) die Diagonalisierbarkeit bestimmen und in d) Prüfen sollen, ob die Abbildung Trigonalisierbar ist ... wie denn, wenn nicht linear??? Komisch...

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HmmH - das gibt mir zu denken. Hast Du mal ein Foto von der Aufgabe?

Gruß

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Hat sich erledigt... war ein Fehler n der Aufgabenstellung! Passiert... LG und danke...