Nach einem Telefonat sind es noch 6 Minuten bis zum Feierabend. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass kein Anruf …

Question

Aufgabe:

Der Abstand zwischen zwei Anrufen ist exponential-verteilt. Er beträgt im Durchschnitt 7 Minuten. Nach einem Telefonat sind es noch 6 Minuten bis zum Feierabend. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass kein Anruf mehr ankommt?

Problem/Ansatz:

Ich verstehe es nicht ganz. Klar ist mir, dass λ>0 und dass \( \frac{1}{λ} \) das Zeitintervall angibt. Ich denke, das wäre dann \( \frac{1}{7} \)

Ich würde auch von der Wahrscheinlichkeit eines Anrufs P(A) ausgehen und für die Wahrscheinlichkeit keinen Anruf P(K) einfach 1-P(A)=P(K) rechnen.

Aber mit dem Zwischenschritt habe ich ein Problem. Ich schaffe den Transfer vom Gegebenen auf das Gesuchte nicht.

Answer 1

Aloha :)

Die Exponentialverteilung hat die Dichtefunktion:$$f_\lambda(t)=\lambda\cdot e^{-\lambda\cdot t}\quad;\quad x\ge0$$Dabei ist \(\lambda=\frac{1}{T}\) der Kehrwert vom Erwartungswert \(T=7\,\mathrm{min}\) für eine Leerlaufphase. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Leerlauf-Phase anhält, also in den nächsten \(6\,\mathrm{min}\) kein ein Anruf kommt, ist daher:

$$p=\int\limits_0^6\frac{1}{7}\cdot e^{-t/7}dt=\left[\frac{1}{7}\cdot \frac{e^{-t/7}}{-\frac{1}{7}}\right]_{t=0}^6=\left[-e^{-t/7}\right]_{t=0}^6=-e^{-6/7}+1\approx0,5756$$