Definitionsbereich und Differentialquotient von f(x):= x/(exp(x))?

Question

ich hab folgende Frage wie bestimmt man den MAXIMALEN Definitionsbereich,

Ich verstehe das einfach nicht und schreibe morgen eine arbeit über die Sachen. Ich hab jetzt mal 2 Beispiele, und es wäre sehr nett wenn jemand 5 min für mich opfern würde und mir zu den beiden Beispielen die Antwort und eine knappe Erklärung, warum das so ist und warum das gilt, geben würde. Dann kann ich meine anderen Beispiele vielleicht besser nachvollziehen und selbstständig lösen. Es will einfach nicht in meinen Kopf.

1) f(x):= 1/(x²)

2) f(x):= x/(exp(x))

Zudem maximalen Definitionsbereich soll ich auch noch die Ableitung mit Hilfe des Differentialquotienten bestimmen, kann mir da jemand vielleicht einen Ansatz zu 2 liefern, da komm ich nicht mit zurecht?

Answer 1

Der Definitionsbereich ist die Menge der Werte, die man für x einsetzen darf. 

1) f(x):= 1/(x²)

Beim Bruch darf man nicht durch Null teilen daher darf ich für x alles ausser Null einsetzen. D = R \ {0}

2) f(x):= x/(exp(x)) = x * e^{-x}

Die Ableitung mittels Differentialquotienten scheint mir hier ziemlich aufwendig zu sein.

(f(x + h)- f(x)) / h

((x + h)·e^{- x - h} - x·e^{-x})/h

e^{-x - h} + x·e^{-x - h}/h - x·e^{-x}/h

e^{-x - h} + x·((e^{-x})')

Eventuell kann man die Ableitung der e-Funktion voraussetzen. Ansonsten müsste man die einmal gesondert zeigen. Ich denke aber das habt ihr eventuell gemacht.

e^{-x - h} + x·(-e^{-x})

e^{-x}·(e^{-h} - x)

e^{-x}·(1 - x)

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort.

Mit dem Bruch geht ein Licht auf, das hat mir sehr geholfen danke ;)

aber was mich immer noch stutzig macht ist mit hilfe des differentialquotienten die Ableitung von 

von x/exp(x) zu basteln.

limx→x₀   f(x)−f(x₀)/(x−x₀) =  ((x/(exp(x)) - (x₀/(exp(x₀)) /  (x-x₀)

weiter komm ich schon nicht mehr, kann mir da jemand bei dem ansatz helfen? :)

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Es ist mit der grundlegenden Mathematik schon schwierig eine Ableitung von e^x mit dem Differenzialquotienten zu finden. Daher ist es schwierig was hier benutzt werden darf. Ich benutze beim Differenzialquotienten meist die h-Methode die oben auch im Ansatz steht.