Eine Ungleichung nachweisen

Question

Aufgabe:

Sei \( y=\left[y_{1}, \ldots, y_{n}\right]^{T} \in \mathbb{R}^{n} . \) Zeigen Sie, \( \operatorname{dass} n \sum \limits_{i=1}^{n} y_{i}^{2} \geq\left(\sum \limits_{i=1}^{n} y_{i}\right)^{2} . \)
Hinweis: Nutzen Sie, \( \operatorname{dass} \sum \limits_{i=1}^{n} y_{i}=y^{T} \mathbf{1}_{n} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe absolut keine Ahnung, wie das geht, ich würde mich freuen, wenn mir da jemand helfen könnte...

Answer 1

Wende die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Schwarzsche_Ungleichung#Allgemeiner_Fall

an, wie es in dem Tipp angegeben ist. Bedenke 1_n*1_n = n.

Comments

Ich habe jetzt den tipp eingesetzt und komme auf folgenden rechten term:

y^T*1n*y^T*1n, wie wende ich hier genau die

Cauchy-Schwarzsche Ungleichung an?

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In der Formel heißt es doch <x,x>·<y,y> also bei dir

   <y^T ,y^T> · <1_n,1_n> = <y^T ,y^T> · 1

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Danke, aber wäre man dann fertig wegen der Cauchy-Schwarzsche Ungleichung? Oder muss man es noch weiter ausführen?

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Ich meine: Ja