Aufgabe:
Es seien V und W endlich dimensionale K-Vektorräume,
S={s1,…,sn},S′={s′1,…,s′n} Basen von V
sowie T={t1,…,tm},T′={t′1,…,t′m} Basen von W.
Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
1) Basiswechselmatrizen sind spezielle Darstellungsmatrizen: S′ΔS = S′[idV]S.
2) Für jede lineare Abbildung g:V→W gilt: T′[g]S′ = T′ΔT ⋅ T[g]S ⋅ SΔS′.
3) Eine lineare Abbildung f:V→W ist genau dann injektiv, wenn {f(s1),…,f(sn)} eine linear abhängige Menge ist.
4) Eine lineare Abbildung ϕ:V→W ist genau dann surjektiv, wenn {ϕ(s1),…,ϕ(sn)} eine Basis von W ist.
Problem/Ansatz:
1) Richtig, Basiswechselmatrizen sind ja auch Darstellungsmatrizen, nur eben dass sie die identittsabbildunng darstellen
2) Richtig
3) Falsch, der Nullvektor muss auf den Nullvektor abbilden.
4) Richtig, da beide Vektorräume die gleiche Dimension haben und somit ganz V auf ganz W abgebildet werden kann.
