Wie berechne ich den Sattelpunkt?

Question

Aufgabe: f(x)=3/4x^4-4x^3+6x^2+1

f’(x)= 3x^3-12x^2+12x

f’’(x) 9x^2-24x+12

Problem/Ansatz

Ich weiß nicht wie ich bei dieser Aufgabe den Wendepunkt finden soll . Ich wollte f’’(x) mir der pq Formel auflösen und dadurch zwei x-stellen erhalten . Danach wollte ich die x werte  in f’’’(x) einsetzen und habe  einmal 36 und einmal 12 raus . Ich weiß gar nicht , ob mein Ansatz richtig ist oder komplett falsch . Und wie ich am Ende den Wendepunkt finde ist mir auch unklar. Könnte mir es jemand vielleicht erklären und mir vielleicht noch eine Seite nennen , wo ich das Thema Sattelpunkte nochmal durchgehen kann . Wäre echt lieb vielen Dank

Answer 1

Hallo,

der Sattelpunkt ist eine besondere Form des Wendepunktes. Du findest ihn, wie du es schon richtig gemacht hast, indem du die 2. Ableitung = 0 setzt und nach x auflöst. \(x_1=2\quad \text{und }\quad x_2=\frac{2}{3}\)

Die 2. Bedingung ist, dass die 3. Ableitung ungleich null ist. Das ist hier der Fall, obwohl ich bei f'''(2/3) -12 und nicht 36 erhalte.

Ein Sattelpunkt liegt vor, wenn auch die 1. Ableitung = 0 ist. Das ist hier bei x = 2 der Fall.

Gruß, Silvia

Comments

Vielen Dank :)

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Oh hatte -2/3 eingesetzt

Answer 2

Aufgabe:

$$ f(x)=3/4x^4-4x^3+6x^2+1$$

$$f’(x)= 3x^3-12x^2+12x=0$$
$$x(x^2-4x+4)=0$$

$$x(x-2)^2=0$$die Funktion hat eine horizontale Tangente bei $$x_1=0 ;x_2=2$$

$$f’’(x)= 9x^2-24x+12$$

$$f''(0)=12 →Minimum $$

$$f''(2)=36-48+12=0 →Sattelpunkt$$

$$ 9x^2-24x+12=0$$

$$ x^2-8/3x+4/3=0$$

$$x_1=4/3+ \sqrt{\frac{16-12}{9}}=4/3+2/3=2→Sattelpunkt $$

$$x_2=4/3- \sqrt{\frac{16-12}{9}}=4/3-2/3=2/3→Wendestelle $$

Comments

Hallo Hogar,

hier muss mehr kommen.

f '(x)=0 und f''(x)=0 ist noch keine hinreichende Bedingung für einen Sattelpunkt!

Denke z.B. an f(x)=x^6 an der Stelle 0.

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Hallo Abakus,

es muss nicht mehr kommen, alles was gesagt werden musste, wurde gesagt.

$$f’’(x)= 9x^2-24^x+12$$

Wenn du der Meinung bist, dass noch mehr gesagt werden muss, dann sage es.

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Doch das was ich gesagt habe war natürlich ein Fehler, denn ich habe mich vertippt. Richtig muss es lauten.

$$f’’(x)= 9x^2-24x+12$$

Wurde geändert.

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@Hogar

Du hast geschrieben (nachdem vorher schon geklärt war, dass f'(2)=0 gilt):

\(f''(2)=36-48+12=0 →Sattelpunkt\)

Im Prinzip behauptest du damit: Wenn an einer Stelle die erste und die zweite Ableitung 0 sind, liegt dort zwingend ein Sattelpunkt vor.
Diese Schlussfolgerung ist zwar hier im konkreten Fall richtig, aber allgemein eben NICHT (wie ich dir durch Angabe eines Gegenbeispiels gezeigt habe).

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@abakus

Ich habe zwei verschiedene Nullstellen einer Parabel. Da muss  ich nicht noch eine weitere Ableitung machen, um zu sehen, dass diese nicht Null ist.

Das gilt immer.

Gruß, Hogar

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Ich habe dir bereits geschrieben, dass deine Schlussfolgerung im konkreten Fall (und mit nicht erwähntem Zusatzwissen deinerseits) richtig ist.

Ich möchte aber vermeiden, dass bei weniger kompetenten Lesern der Eindruck entsteht, dass

f '(x)=0 und f''(x)=0

eine hinreichende Bedingung für Sattelpunkte wäre.

Es ist eine notwendige Bedingung - mehr nicht.

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Hallo abakus

Noch einmal, wir hatten bei der zweiten Ableitung zwei Nullstellen einer Parabel gefunde.

Da ist eine weitere Ableitung nicht nötig, die kann an diesen  Stellen nicht Null sein. Das zusammen ist hinreichend.

Dass wir zwei finden werden, war aber auch schon klar.

Gruß, Hogar