Grenzwert bestimmen, verschachtelte Wurzeln

Question

Aufgabe:

Folgender Grenzwert ist zu bestimmen: $$\lim \limits_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+ \sqrt{x + \sqrt{x}}}}$$

Problem/Ansatz:

Um einen etwas ausführlicheren Ansatz wäre ich sehr dankbar. Ich komme leider auf nichts Vernünftiges

Comments

Klammere in Nenner unter der großen Wurzel x aus.

Dann Teilwurzel ziehen. Du kannst mit √x kürzen.

---

Ich verstehe leider nicht, wie du das meinst Gast2016

Answer 1

Aloha :)

Im ersten Schritt würde ich im Zähler \(\sqrt x\) ausklammern und mit dem Zähler kürzen:$$\frac{\sqrt x}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt x}}}=\frac{\sqrt x}{\sqrt{x\cdot\left(1+\frac{\sqrt{x+\sqrt x}}{x}\right)}}=\frac{\sqrt x}{\sqrt{x}\cdot\sqrt{1+\frac{\sqrt{x+\sqrt x}}{x}}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{\sqrt{x+\sqrt x}}{x}}}$$Jetzt kannst du den Nenner noch etwas umformen:$$=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{\sqrt{x+\sqrt x}}{\sqrt{x^2}}}}=\frac{1}{\sqrt{1+\sqrt{\frac{x+\sqrt x}{x^2}}}}=\frac{1}{\sqrt{1+\sqrt{\frac{x}{x^2}+\frac{\sqrt x}{x^2}}}}=\frac{1}{\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{x\sqrt x}}}}\to1$$Für \(x\to\infty\) werden \(\frac{1}{x}\) und \(\frac{1}{x\sqrt x}\) zu null, sodass der Grenzwert \(1\) ist.

Comments

Vielen Dank. Ich werde wohl noch einige Übungsaufgaben der Art machen müssen