Quadratische Gleichung in Normalform umwandeln

Question

Aufgabe:

Die Aufgabe lautet wie folgt: Forme die Gleichung in die Normalform um und bestimme dann das Ergebnis mit der pq Formel. Gleichung:

(x-1)/(x-2)+(x-3)/(x-4)=(x²-5x+4)/(x-2) × (x-4)

Problem/Ansatz:

Also ich habe Probleme dabei die Gleichung in die Normalform umzuwandeln. Das mit der pq-Formel kriege ich aber locker hin. Ich weiß gar nicht wo ich beim Umwandeln anfangen soll. Ich bearbeite diese Aufgabe seit einer Stunde, bin am verzweifeln und hoffe auf Hilfe.

Comments

Ist die Gleichung so gemeint: $$\frac{x-1}{x-2}+\frac{x-3}{x-4}=\frac{x^2-5x+4}{(x-2)\cdot(x-4) }$$ Falls ja, dann kannst du die Summe links gleichnamig machen und dann die Nenner weglassen. Natürlich nur, nachdem du vorher den Definitionsbereich ermittelt hast.

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Un wie mach ich das?

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$$\frac{(x-1)\cdot(x-4)+(x-3)\cdot(x-2)}{(x-2)\cdot(x-4)}=\frac{x^2-5x+4}{(x-2)\cdot(x-4) }$$ wäre der nächste Schritt.

Answer 1

(x-1)/(x-2)+(x-3)/(x-4)=(x²-5x+4)/(x-2) × (x-4) | *(x-2)

(x-1)+(x-3)(x-2) /(x-4)=(x²-5x+4)(x-4)    | *(x-4)

(x-1)(x-4)+(x-3)(x-2)=(x²-5x+4)(x-4)²

Sicher, dass das mit dem  (x²-5x+4)/(x-2) × (x-4) oben

stimmt, also  × soll "mal" heißen ???

Comments

Ja, × soll ,,mal" heißen.

Answer 2

Hallo,

Also ich habe Probleme dabei die Gleichung in die Normalform umzuwandeln

ich auch - zumindest wenn die quadratische Normalform gemeint ist$$\begin{aligned} \frac{x-1}{x-2}+\frac{x-3}{x-4}&=\frac{x^2-5x+4}{x-2} \cdot (x-4) \\ \frac{x-1}{x-2}+\frac{x-3}{x-4}&=\frac{(x-1)(x-4)}{x-2} \cdot (x-4) &&|\, \cdot(x-2)(x-4)\\ (x-1)(x-4) + (x-3)(x-2) &= (x-1)(x-4)^3 &&|\, -(x-1)(x-4)\\ (x-3)(x-2) &= (x-1)(x-4)^3 - (x-1)(x-4) \\ (x-3)(x-2) &= (x-1)(x-4)\left( (x-4)^2 - 1\right) \\ (x-3)(x-2) &= (x-1)(x-4)\left( x^2 - 8x +15\right) \\ (x-3)(x-2) &= (x-1)(x-4)(x-3)(x-5) &&|\,\div (x-3)\\ (x-2) &= (x-1)(x-4)(x-5) \\ \end{aligned}$$Ist die Ausgangsgleichung so korrekt?

Gruß Werner

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Ist die Ausgangsgleichung so korrekt?

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Ja, × soll ,,mal" heißen.

Mag sein, aber vielleicht fehlte eine Klammer, und der Term $(x-4)$ steht doch im Nenner des Bruchs. Dann sähe es so aus:$$\begin{aligned} \frac{x-1}{x-2}+\frac{x-3}{x-4}&=\frac{x^2-5x+4}{(x-2)\cdot \color{red}{(x-4)}} \\ \frac{x-1}{x-2}+\frac{x-3}{x-4}&=\frac{(x-1)(x-4)}{(x-2)\cdot \color{red}{(x-4)}} \\ \frac{x-1}{x-2}+\frac{x-3}{x-4}&=\frac{(x-1)}{(x-2)} &&|\,-\frac{x-1}{x-2} \\ \frac{x-3}{x-4}&=0 &&|\, \cdot(x-4) \\ x-3 & = 0 \\ x &= 3 \end{aligned}$$der Definitionsbereich war $x \in \mathbb R \backslash\{2,\, 4\}$, aber eine quadratische Glecihung gibt das immer noch nicht!