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Hallo :)

Gegeben sind die Punkte A=(-1;1)  und B=(1;2) . Es ist der auf der x-Achse liegende Punkt C=(xo;0) zu bestimmen, der die kleinste Entfernungssumme Strecke AC+ Strecke BC=s aufweist. (Hinweis: Es ist ausreichend, die notwendige Bedingung zur Extremwertbestimmung auszuwerten)

Danke und Gruß
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Der Abstand des Punktes A ( - 1 | 1 ) von Punkt P ( x0 | 0 ) ist:

d ( P , A ) = √ ( ( xA - xP ) 2 + ( yA - yP ) 2 )

= √ ( ( - 1 - x0 ) 2 + ( 1 - 0 ) 2 )

= √ ( x02 + 2 x0 + 1 + 1  )

= √ ( x02 + 2 x0 + 2 )

Der Abstand des Punktes B ( 1 |  2 ) von Punkt P ( x0 | 0 ) ist:

d ( P , A ) = √ ( ( xB - xP ) 2 + ( yB - yP ) 2 )

= √ ( ( 1 - x0 ) 2 + ( 2 - 0 ) 2 )

= √ ( x02 - 2 x0 + 1 + 4  )

= √ ( x02 - 2 x0 + 5 )

Somit ist die Summe D beider Abstände:

D ( x0 ) = √ ( x02 + 2 x0 + 2 ) + √ ( x02 - 2 x0 + 5 )

Die Ableitung D ' ist:

D ' ( x0 ) = ( x0 - 1 ) /  √ ( x02 - 2 x0 + 5 ) +  ( x0 + 1 ) /  √ ( x02 + 2 x0 + 5 )

Setzt man D ' = 0 und löst diese Gleichung nach x auf, so erhält man:

x = - 1 / 3

Somit hat der gesuchte Punkt C die Koordinaten C ( - 1 / 3 | 0 )

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