Der Abstand des Punktes A ( - 1 | 1 ) von Punkt P ( x0 | 0 ) ist:
d ( P , A ) = √ ( ( xA - xP ) 2 + ( yA - yP ) 2 )
= √ ( ( - 1 - x0 ) 2 + ( 1 - 0 ) 2 )
= √ ( x02 + 2 x0 + 1 + 1 )
= √ ( x02 + 2 x0 + 2 )
Der Abstand des Punktes B ( 1 | 2 ) von Punkt P ( x0 | 0 ) ist:
d ( P , A ) = √ ( ( xB - xP ) 2 + ( yB - yP ) 2 )
= √ ( ( 1 - x0 ) 2 + ( 2 - 0 ) 2 )
= √ ( x02 - 2 x0 + 1 + 4 )
= √ ( x02 - 2 x0 + 5 )
Somit ist die Summe D beider Abstände:
D ( x0 ) = √ ( x02 + 2 x0 + 2 ) + √ ( x02 - 2 x0 + 5 )
Die Ableitung D ' ist:
D ' ( x0 ) = ( x0 - 1 ) / √ ( x02 - 2 x0 + 5 ) + ( x0 + 1 ) / √ ( x02 + 2 x0 + 5 )
Setzt man D ' = 0 und löst diese Gleichung nach x auf, so erhält man:
x = - 1 / 3
Somit hat der gesuchte Punkt C die Koordinaten C ( - 1 / 3 | 0 )