Kleinstmögliche Strecke zwischen 3 Punkten bestimmen

Question

Hallo :)

Gegeben sind die Punkte A=(-1;1)  und B=(1;2) . Es ist der auf der x-Achse liegende Punkt C=(xo;0) zu bestimmen, der die kleinste Entfernungssumme Strecke AC+ Strecke BC=s aufweist. (Hinweis: Es ist ausreichend, die notwendige Bedingung zur Extremwertbestimmung auszuwerten)

Danke und Gruß

Answer 1

Der Abstand des Punktes A ( - 1 | 1 ) von Punkt P ( x₀ | 0 ) ist:

d ( P , A ) = √ ( ( x_A - x_P ) ² + ( y_A - y_P ) ² )

= √ ( ( - 1 - x₀ ) ² + ( 1 - 0 ) ² )

= √ ( x₀² + 2 x₀ + 1 + 1  )

= √ ( x₀² + 2 x₀ + 2 )

Der Abstand des Punktes B ( 1 |  2 ) von Punkt P ( x₀ | 0 ) ist:

d ( P , A ) = √ ( ( x_B - x_P ) ² + ( y_B - y_P ) ² )

= √ ( ( 1 - x₀ ) ² + ( 2 - 0 ) ² )

= √ ( x₀² - 2 x₀ + 1 + 4  )

= √ ( x₀² - 2 x₀ + 5 )

Somit ist die Summe D beider Abstände:

D ( x₀ ) = √ ( x₀² + 2 x₀ + 2 ) + √ ( x₀² - 2 x₀ + 5 )

Die Ableitung D ' ist:

D ' ( x₀ ) = ( x₀ - 1 ) /  √ ( x₀² - 2 x₀ + 5 ) +  ( x₀ + 1 ) /  √ ( x₀² + 2 x₀ + 5 )

Setzt man D ' = 0 und löst diese Gleichung nach x auf, so erhält man:

x = - 1 / 3

Somit hat der gesuchte Punkt C die Koordinaten C ( - 1 / 3 | 0 )