Pseudoinverse bzw. Allgemeine Inverse

Question

Aufgabe:

Sei \( A \in \mathbb{R}^{(n, m)} \) und \( A^{-} \in \mathbb{R}^{(m, n)} \) eine g-Inverse von \( A \). Zeigen Sie , \( \operatorname{dass} \operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}\left(A A^{-}\right)=\operatorname{rg}\left(A^{-} A\right), \) und dass \( \operatorname{rg}\left(A^{-}\right) \geq \operatorname{rg}(A) \)

Problem/Ansatz:

Wie könnte man hier vorgehen?

Comments

Ich habe selbst eine Idee, bin mir bei der Ausführung nicht sicher. Es gilt ja die Ungleichung:

rang(A*B)<=min{rang(A),rang(B)}, damit ich meine aussage beweisen möchte muss ja gelten:

rang(A*A^-)<=min{rang(A),rang(A^-)}<=A bzw

rang(A)<=min{rang(A),rang(A^-)}<=rang(A*A^-)

Wäre das so richtig? Wenn ja, wie zeigt man das geeignet?

Answer 1

Schau mal im Skriptum bei der Behauptung 10.9 nach:

rg(B\(^{T} \) * B) = rg(B).

Du kannst den Beweis auch umkehren und beweisen, dass rg(B*B\(^{T} \)) = rg(B).

Um zu zeigen, dass rg(\( A^{-} \) ) >= rg(A) kannst du folgendermaßen vorgehen (Behauptung 6.7):

rg(AB) <= min{rg(A), rg(B)}

B := \( A^{-} \)

rg(AB) = rg(A) (siehe oben)

rg(A) <= min{rg(A), rg(B)}, d.h. rg(A) ist kleiner gleich rg(B), also kleiner gleich rg(\( A^{-} \) )