stationäre Stellen berechnen und deren Typ festlegen (begründen)

Question

Aufgabe:

f(x;y)=(y+4)*(x3-3x)+ln(y-2)-4y

Partielle Ab.1 und 2 hab ich bestimmt nun soll ich die stationären stellen rechnerisch feststellen und dazu auch den Typ der Stelle nennen

fx(x;y)=(y+4)*(3x^2-3)

fy(x;y)=(x^3-3x)+(1/y-2)-4

fxx(x;y)=(y+4)*6x

fxy(x;y)=fyx(x;y)=3x^2-3

fyy(x;y)=1/(y-2)^2

Comments

Das ist echt gemein, dass die euch nie die Hessematrix definiert haben und nie erklärt haben, wie man diese auswertet.

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@abakus

Auch, wenn du das scherzhaft meinst, muss es nicht sein, dass diese tatsächlich definiert wurde. Denn speziell für Funktionen \(f: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}\) wird ggf. in nicht-mathematischen Studiengängen die Diskriminante \(D(x,y)=f_{xx}(x,y)f_{yy}(x,y)-f_{xy}^2\) eingeführt. (Das ist prinzipiell die Determinante der Hessematrix). Für symmetrische 2x2-Matrizen gibt es nämlich einen direkten Zusammenhang zwischen Definitheit und Determinante.

Answer 1

Hallo,

f_x(x;y) = (y+4)*(3x²-3)
f_y(x;y) = (x³-3x)+(1/y-2)-4
f_xx(x;y) = (y+4)*6x
f_xy(x;y) = fyx(x;y)=3x²-3
f_yy(x;y) =  - 1/(y-2)² (!)

f_x = 0   →   x = ±1  ∨  y = - 4

einsetzen in f_y ergibt die stationären Punkte:

( (25/12 - √481/12)^1/3 + (√481/12 + 25/12)^1/3 | y = -4 )  ; ( -1 | 5/2)  ;  ( 1 | 13/6 )

für jeden der 3 erhaltenen stationären Punkte prüfst du durch Einsetzen:
f_xx • f_yy - f_xy²   > 0 → Extrempunkt

                      < 0  → Sattelpunkt

                      [ = 0    erfordert weitere Betrachtung mit der Hessematrix ]

im Fall "Extremum" weiter:

f_xx < 0  →  Hochpunkt
    > 0  →  Tiefpunkt
    = 0  kann nicht vorkommen

Ich erhalte in obiger Reihenfolge S, H, S

Gruß Wolfgang

Comments

Ich danke dir vielmals..!

hab das auch versucht zu lösen und bekomme auch für fx die werte y=-4

X1/2= 1 und -1

Aber bei mir hängt es beim einsetzten der werte in fy bsp: wenn ich die x werte einsetzte von fx in fy da bekomm ich für y: 2,16 und 2,125

Und wenn ich den y wert von fx in fy einsetze also -4 bekomm ich nur komische zahlen bei raus

Vll. diesen schritt einmal näher erklären wäre hilfreich danke schonmal im Voraus

Rest versteh ich und kann es auch nachvollziehen

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Update:

die y werte hab ich alle raus mir fehlen nur noch die x werte von fy wenn ich fx einsetze

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würde mich freuen wenn einer sich die Zeit nimmt kurz

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Du hast also die Gleichung (y = -4 in f_x eingesetzt)

x³ - 3·x - 25/6 = 0    

→   x =  (25/12 - √481/12)^1/3 + (√481/12 + 25/12)^1/3

     ≈  x ≈ 2,21024075    

Den Näherungswert kannst du mit einem Näherungsverfahren (z.B. Newtonverfahren #) ausrechnen.

Den exakten Wert erhältst du mit den Cardano-Formeln:

http://mathphys-online.de/losungsformel-von-gleichungen-dritten-grades-nach-cardano/

Die Gleichung hat nur eine reelle Lösung.

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#

Ausgehend von einem (möglichst guten) Startwert, den man z.B zwischen zwei x-Werten findet, deren Funktionswerte verschiedenes Vorzeichen haben, findet man immer bessere Werte mit der Formel
\(x_{neu} =  x_{alt} - \dfrac{f(x_{alt})}{ f' (x_{alt})}\)

f(x) = x³ - 3x - 25/6 = 0    ;   f '(x) = 3x² - 3

mit dem Starwert x=2 erhält man z.B.