Ableitungen von Funktionen an den differenzierbaren Stellen bestimmen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Ableitungen der Funktionen mit den folgenden Funktionsvorschriften (mit Hilfe der Ableitungsregeln) an den Stellen, an denen sie differenzierbar sind:

a)$$ f(x)=\frac{x^{3}-2 x+1}{x^{2}-4}$$

b) $$g(x)=\left(x^{4}+2 x^{3}+1\right) \cdot \sqrt{x^{4}+1}$$

Wie muss ich hier vorgehen? Zuerst muss ich vermutlich rausfinden wo die Funktionen differenzierbar sind, allerdings bekomme ich das bei diesen Funktionen schon nicht hin. Und was muss man danach noch machen?

Answer 1

Du kannst zunächst die Forderung nach den Stellen, wo die Funktion differenzierbar ist, erst einmal ignorieren.

Leite die Funktionen ab!

Nutze für a) die Quotientenregel.

Nutze für b) die Produktregel, und im Rahmen der Ableitung des Wurzelterms benötigst du die Kettenregel.

Zur Differenzierbarkeit: Sowohl bei a) als auch bei b) ist die vorgegebene Funktion nicht überall definiert.

Den Nicht-Definitionsbereich kannst du schon mal ausschließen.

Die Wurzelfunktion ist zusätzlich an einer (Rand-)stelle zwar definiert, aber nicht differenzierbar.

Die Suche danach sollte dich aber nicht davon abhalten, zunächst mal stur die Ableitungsregeln zu verwenden!

Comments

Ok vielen Dank dann mach ich das gleich erstmal.
Und das mit dem Definitionsbereich ist mir auch klar, allerdings verstehe ich nicht ganz wie ich dann zeige das der Rest differnezierbar ist, bzw. wie ich herausfinde ob überhaupt alles außer der Definitionsbereich differenzierbar ist.
Und die Wurzelfunktion ist in 0 definiert allerdings nicht differenzierbar, das meinst du mit der Randstelle richtig?

---

Schön, dass du die problematische Stelle der Funktion \( \sqrt{x} \) selbst erkannt hast.

Ich nehme meinen diesbezüglichen Einwurf betreffs \( \sqrt{x^4+1} \) allerdings zurück:

Diese Funktion ist dank des Summanden +1 in der Wurzel überall definiert und sogar differenzierbar.

---

Ah du hast recht danke. Aber wie Zeige ich denn jetzt, dass die Funktion außer bei den Definitionslücken differenzierbar ist, bzw. ob es noch andere Stellen gibt die nicht differenzierbar sind?