Du siehst sofort, dass du für x nicht 0 einsetzen kannst, da ist also eine Definitionslücke. Beim zeichnen ist dann interessant, was die Funktion in einer beliebig kleinen Umgebung der 0 macht. Du betrachtest also \(\underset{x\rightarrow 0^{-}}{lim}x+\frac{1}{x^{2}}=\infty\), denn x geht natürlich gegen 0, \(\frac{1}{x^2}\) geht gegen unendlich, gleiches gilt für den rechtsseitigen Grenzwert gegen 0.
Als nächstes schaust du dir die Nullstellen der Funktion an, d.h. du setzt f(x)=0, also \(0=x+\frac{1}{x^2}\) multipliziere die Gleichung mit \(x^2\) durch: \(0=x^3 +1\) \(\Rightarrow\) \(x=-1\) ist die einzige Nullstelle (in \(\mathbb{R}\) nur der Vollständigkeit halber)
Jetzt schaust du dir die Extrempunkte an, also erstmal f(x) ableiten: \(f'(x)=1+\frac{-2}{x^3}=1-\frac{2}{x^3}\), \(f''(x)=\frac{6}{x^4}\) und f'(x)=0 setzen: \(0=1-\frac{2}{x^3}\) \(\Leftrightarrow\) \(0=x^{3} -2\) \(\Rightarrow\) \(x=\sqrt[3]{2}\) und \(f''(\sqrt[3]{2})>0\), also liegt da ein Tiefpunkt vor. Mit diesen Informationen solltest du in der Lage sein den Graphen der Funktion zu zeichen und b) ist auch schon gezeigt.
