Extremwertaufgabe(Entfernung in kürzester Zeit)

Question

Könntet ihr mir bitte bei dieser Aufgabe helfen? :)

Aufgabe:

Diese kleine Aufgabe, die ein Querfeldein - Hindernisrennen zum Inhalt hat, sollte für Rennliebhaber und Rätselrater gleichermaßen interessant sein. Es sieht so aus, als wären gegen Ende eines gut besetzten Rennens, als nur noch 1 ¾ Meilen ( 1.engl. Meile = 1,6 km) zu bewältigen waren, die Pferde an der Spitze so dicht zusammen gewesen, daß der Sieg nur davon abhing, die günstigste Abkürzung zur Zielfahne zu wählen. In dem Bild ist am entfernten Ende eines rechteckigen Feldes, das an eine Straße angrenzt, die an der einen Seite 1 Meile lang und an der anderen ¾ Meile lang ist, der Rennrichterstand zu erkennen. Daher beträgt die Entfernung bis zur Zielfahne entlang der Straße 1 ¾ Meilen, was alle Pferde in 3 Minuten schaffen. Es steht jedoch jedem Reiter frei, sein Pferd querfeldein zu lenken, allerdings behindert der unebene Boden die Läufer. In diesem Fall bringt der Weg über das rechteckige Feldstück einen Geschwindigkeitsverlust von 25% mit sich. An welcher Stelle entlang der 1 Meile langen Straße muß das Pferd die Steinmauer überspringen und direkt auf die Zielfahne zulaufen - wenn es das Rennen in allerkürzester Zeit beenden will?

Problem/Ansatz:

v=s/t

t=s/v

Answer 1

Zunächst führe ich einige Benennungen ein:

Dann s=\( \sqrt{(\frac{3}{4})^2+x^2} \). Wenn die Geschwindigkeit als Einheit gewählt wird, ist die Zeit für das Zurücklegen der Strecke s beschrieben durch t₁=\( \frac{1}{0,75} \)·\( \sqrt{(\frac{3}{4})^2+x^2} \). Die Zeit für die verbliebene Strecke ist dann t₂=1 - x. Zu minimieren ist f(x)=t₁+t₂.

Comments

s = \( \sqrt{(\frac{3}{4})^2+x^2} \)

t₁ = \( \frac{1}{0,75} \)\( \sqrt{(\frac{3}{4})^2+x^2} \)

f(x) = \( \frac{1}{0,75} \)\( \sqrt{(\frac{3}{4})^2+x^2} \) +(1-x)  |-(1-x)

-(1-x) =  \( \frac{1}{0,75} \)\( \sqrt{(\frac{3}{4})^2+x^2} \)  | *0,75

-0,75(1-x) = \(\sqrt{(\frac{3}{4})^2+x^2} \)

-0,75+0,75x = \(\sqrt{(\frac{3}{4})^2+x^2} \)  | ()^2

(-0,75x+0,75)² = (3/4)² +x²

So richtig?

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f(x) war noch richtig, aber das Minimum von f findet man als Nullstelle der ersten Ableitung.

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f(x) = 1/0,75 *((3/4)² + x²)^1/2

f'(x) =  0,5/0,75 * ((3/4)² +x²)^-1/2 *2

f'(x) = 2/3 * (9/16 + x²)^-1/2 *2

      = 4/6*(9/16 + x²)^-1/2

f'(x) =  0

4/6*(9/16 + x²)^-1/2 = 0

Ist das jetzt richtig und wie muss ich weiter rechnen?

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Deine Ableitung ist nicht richtig. Richtig wäre f '(x)= - \( \frac{1}{1,5} \)·2x·((3/4)²+x²)^-1/2 - 1. Dies hat die Nullstelle x=\( \frac{9\sqrt{7}}{28} \).

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f'(x) = 0

f '(x)= - \( \frac{1}{1,5} \)·2x·((3/4)²+x²)-1/2 - 1

- \( \frac{1}{1,5} \)·2x·((3/4)²+x²)^-1/2 = 1

2x·((3/4)²+x²)^-1/2 = -1,5

x·((3/4)2+x²)^-1/2 = -0,75

x = -0,75/(1/\( \sqrt{9/16 + x²} \)

Was ist daran falsch?

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Sry, aber kriege was völlig anders als Nullstelle raus...

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Ich kann deinen Fehler nicht finden. Aber vielleicht liegt der Fehler auch bei mir?

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4/6*(9/16 + x₂)^-1/2 = 0