Zeigen Sie es gibt ein w und x mit folgender Eigenschaft: mit x ≠ 0 und 1/2(x+1/x)=w

Question

Ist w element der komplexen zahlen so gibt es ein x element der komplexen zahlen mit x ungleich 0 und 1/2(x+1/x)=w

Answer 1

Man kann einfach mal die Gleichung nach x umstellen und schauen, was sich für Bedingungen ergeben, damit sie lösbar ist.

1/2 (x+1/x) = w

x+1/x = 2w

x² - 2wx + 1 = 0

(x-w)² +1-w² = 0

(x-w)² = w²-1

x-w = ±√(w²-1)

x = w ±√(w²-1)

 

Da man die Wurzel aus einer komplexen Zahl immer ziehen kann, lässt sich die rechte Seite für jedes w ausrechnen. Es existieren also sogar zwei x, die die gewünschte Beziehung erfüllen. Insbesondere gilt für alle w: x≠ 0. Man kann sogar nachrechnen, dass die eine Lösung der Kehrwert der anderen ist:

Sei x = w+√(w²-1)

Dann ist

1/x = 1/(w+√(w²-1))

Erweitere beide Seiten des Bruchs auf der rechten Seite mit w-√(w²-1) dann steht unten die dritte binomische Formel:
1/x = (w-√(w²-1))/(w²-(w²-1)) = w-√(w²-1)

was gerade die zweite Lösung der Gleichung ist.

Comments

Eigentlich müsstest Du von mir viel mehr Daumen bekommen als ich dir geben kann. Du erklärst wirklich immer prima und sehr ausführlich. Ich habe schon etliche Sachen von dir gelernt.

DANKE!