Exponentialgleichung mit Mitternachtsformel lösen

Question

Hallo ich mach grad ein paar Aufgaben zu Exponentialgleichungen bin aber nun bei einer gescheitert.

4^x+4^2-x=17

Meine Idee war eine Substitution durchzuführen und dann in die Mitternachtsformel einsetzen bekomme es aber net hin.

Answer 1

4^x+4^2-x=17

<=> 4^x +  16/ 4^x = 17   mit 4^x = z

<=>  z + 16/z = 17

<=> z^2 + 16 = 17z

z=1 oder z=16   Geht doch !

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Vielen Dank für die schnelle Antwort

Answer 2

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

Meine Idee war eine Substitution durchzuführen und dann in die Mitternachtsformel einsetzen ...

Die Idee ist gut: $$4^{x}+4^{2-x}=17 \\ z= 4^{x-2} \\ 4^2z + \frac 1z = 17  \\ 16z^2 - 17z + 1 = 0 \\ \begin{aligned} \implies z_{1,2} &= \frac{17 \pm \sqrt{17^2 - 4\cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}\\ z_1 &= 1, \quad z_2 = \frac 1{16} \end{aligned} \\ \implies x_1 = 2, \quad x_2 = 0$$

Comments

x=0 geht aber auch .

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Vielen Dank für die schnelle Antwort

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x=0 geht aber auch .

Stimmt, ich hatte \(2-x\) gelesen und \(x-2\) gedacht ... ist korrigiert (s.o.)