Diagonalsierbare Matrix bestimmen

Question

Aufgabe:

Es soll berechnet werden, ob die Matrix :

(3.  4.  -3

 2.  7.  -4

 3   9.  -5) diagonalisierbar ist.

Problem/Ansatz:

ich habe bereits das charakteristische Polynom ausgerechnet  X_a. (n)= -(n-2)² x (n-1). Nun geht es um die Eigenwerte, die lassen sich ja leicht ablesen und sind dem entsprechend 2 und 1. Nun bleibt zu überprüfen ob hierbei alle geometrischen und algebraischen Vielfachheiten übereinstimmt. Aber was genau bedeutet das ?

Answer 1

An deinem Polynom erkennst du die algebraischen Vielfachheiten

1 für n=1    und    2  für n=2 (doppelte Nullstelle )

Nun die Dimension der Eigenräume bestimmen:

gibt 1 für n=1  und auch nur 1 für n=2 , also nicht

diagonalisierbar.

Comments

also muss ich im Allgemeinen nach der Berechnung der eigenwerte überprüfen, ob die Dimension der Eigenräume in dem Beispiel für für E_a(1) und E_a(2) gleich der Vielfachheit der Nullstelle ist. Das heißt also, angenommen sie wäre diagonalisierbar, müsste für Ea(2) die Dimension 2 sein, da die Nullstelle eine doppelte Nullstelle ist?

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So ist es. Du kannst das auch prüfen bei

https://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=911fd1d5ae12712f1c1d2dd9cd95e823