Auszahlungsmatrix: Dualisieren des LP des Zeilenspielers etc. Wer kann hier helfen?

Question

Aufgabe:

Die Spieler 1 und 2 spielen ein Null- Summen- Spiel mit Eurostücken. Ihr Einsatz pro Runde ist entweder eine 1 oder 2 Euromünze. Beide wählen ihren EInsatz und legen ihn gleichzeitig in die Mitte des Tisches. Sind beide Münzen gleich, erhält Spieler 1 von Spieler 2 den durchschnittlichen Einsatz. Sind die Geldstücke verschieden voneinander, erhält Spieler 2 von Spieler 1 den durchschnittlichen EInsatz. Beide Spieler wollen ihren Gewinn maximieren.

Problem/Ansatz:

1.) Wie lautet die Auszahlungsmatrix für diese Problem?

2.) Stellen Sie das LP für den Zeilenspieler in expliziter Form auf.

3.) Dualisieren Sie das LP des Zeilenspielers

4.) Lösen und interpretieren Sie beide Modelle.

5.) Gehen Sie nun davon aus, dass die Spieler nicht den durchschnittlichen Einsatz, sondern den jeweiligen EInsatz des Gegenspielers gewinnen. Was kann man nun über das Spiel aussagen ?

Comments

Bitte eine Lösung bereitstellen falls ihr es könnt.

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Wie ist die Auszahlungsmatrix bei euch definiert?

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Ganz normal wie bei es im Internet auch definiert ist.

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Bitte eine Lösungsmethode bereitstellen :)

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Was heißt "ganz normal"?

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Ich habe nichts anderes gegeben als das was in der Aufgabe steht

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Ich gehe mal stark davon aus,dass sich die Aufgabe auf eine Vorlesung bezieht. Diese Vorlesung habe ich nicht gehört, du aber schon. Also wirst du doch ein Skript haben oder Notizen, in denen Ihr Definitionen etc. habt

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Gib mal Auszahlungsmatrix Definiton in Google ein dann kommt da was die nutzt du dann als allgemeine Formel.

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Da wir es ja mittlerweile geschafft haben, uns die Definition von Auszahlnugsmatrizzen anzuschauen, müssen wir ja nur noch die zu füllenden Werte bestimmen.

Welche Auswahlmöglichkeiten hat Spieler 1 ?
Welche beiden Auswahlmöglichkeiten hat Spieler 2 ?

Wie sehen dann die Gewinne aus?

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Auswahlmöglichkeiten sind 2

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Spieler 1 kann 3 Euro gewinnen

Spieler 2 kann 1,50 Euro gewinnen

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Was sind denn jeweils die beiden Auswahlmöglichkeiten?

Dadurch, dass jeder Spieler 2 Auswahlmöglichkeiten hat, gibt es 4 verschiedene Ausgänge des Spiels. Das heißt, du hast also 4 verschiedene Ausgangsmöglichkeiten, bei denen die Spieler unterschiedliche Gewinne/Verluste machen.

Deine Antwort müsste also so aussehen:

Fall 1: Spieler 1 gewinnt/verliert x , Spieler 2 gewinnt/Verliert y
...

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Ja kannst du die Lösung mal bereitstellen für die restlchen Aufgaben auch.

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Ja kannst du die Lösung mal bereitstellen für die restlchen Aufgaben auch.

Das Hausaufgabencheating kann man auch einfach ignorieren!

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Nö. Du hast mir eindeutig gezeigt, dass du keinerlei Interesse hast, diese Aufgabe auch nur annähernd selbst zu bearbeiten.

Kannst dich gerne melden, sofern du deine Meinung geändert hast, dann kann ich dir helfen.

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ich will doch die lösung verstehen

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Teile der Lösungen von 1) gibt es in den Kommentaren unter der Antwort von georgborn.

Darfst du dir gerne selbst zusammenbasteln.

Mit deinen,meiner Meinung nach, sogar schon unverschämten Kommentaren, hast du bei mir den Vogel abgeschossen.

Weiter werde ich dir nicht entgegen kommen.

Answer 1

Die " etwas höher " angesiedelten Fragen kann ich
dir leider nicht beantworten:

Beide Spieler wollen ihren Gewinn maximieren.

Da gibt es nichts zu optimieren.
Auf Dauer ist das Ergebnis des Spiels für
beide gleich.

Comments

Das würde ich nicht so ganz behaupten ohne Weiteres.
Da abhängig vom Einsatz die jeweiligen Gewinne anders aussehen, kann man die Auswahlmöglichkeit optimieren.

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Nehmen wir einmal an Spieler 1 setzt nur
1 € Münzen, Spieler 2 nur 2 € Münzen.
Die Trefferwahrscheinlichket ist 50;50
Der Gewinn ist gemittelt stets 1.5 €.
Oben Gesagtes gilt für beide Spieler.

Ich wäre erfreut von dir eine Optimierung
der Spielstrategie zu hören.

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Du hast eine von 4 Möglichkeiten aufgezählt. Wie sieht es mit den anderen aus?

Verliert Spieler 1, so verliert er in allen Fällen 1,5€.

Gewinnt Spieler 1, so gewinnt er entweder 1€ oder 2€.

Spieler 1 sollte also durchgängig 2€ Wetten, wenn man davon ausgeht, dass die Trefferwahrscheinlichkeit 50% ist.

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Spieler 1 sollte also durchgängig 2 € Wetten,

Spieler Nr 2 kann 1 € oder 2 € legen

Unter durchschnittlichem Einsatz verstehe
ich ( Münze 1 plus Münze 2 ) / 2
Kombinationen
a.) 2 € / 1 €  Spieler 1 erhält von Spieler 2 
1.50 €
b.) 2 € / 2 € Spieler 2 erhält von Spieler 1 
2 € :

Spieler 2 braucht nur die Variante b.)
spielen.

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Das hast Spieler 1 und Spieler 2 verwechselt. Macht aber ja im Endeffekt keinen Unterschied.

Variante 1€ / 1€ fehlt noch.
So ganz blicke ich noch nicht durch deine Aussagenstruktur, deswegen weiß ich auch noch nicht klar, inwiefern du dann jetzt zu deiner Grundaussage stehst.

Spieler 2 braucht nur die Variante b.)
spielen.

Der Entschluss ist richtig, was ja dann dazu führt, dass man durch die Wahl einer potentiell besseren Variante optimiert.

Vielleicht nochmal um zusammenzufassen:
Warum sollte der Spieler, der bei gleichem Einsatz gewinnt, jemals 1€ wetten, wenn er nicht weiß, was der andere Spieler wählt?

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Variante 1€ / 1€ fehlt noch.

fehlt nicht

Du hast doch geschrieben
Spieler 1 sollte also durchgängig 2 € Wetten,

Also gibt es nur die Kombinationen
2 / 1
und
2 / 2
oder ?

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Spiele 1 sollte durchgängig auf 2€ Wetten, weil der erwartete Gewinn größer ist, als wenn er auf 1€ wettet.

Das ist der Schluss daraus aus allen möglichen Ergeignissen abhängig von den Spieler-Entscheidungen.

Prinzip hinter Optimierungen in der Spielstrategie ist, dass man jeweils für eine Seite betrachtet, welche Entscheidungsmöglichkeit sinnvoller wäre zu wählen, wenn man nicht weiß, wie die andere Person sich entscheidet.

Wir betrachten also Spieler 1:

- Spieler 1 kann 1 € setzen
Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten, die gleich wahrscheinlich sind:
=> Spieler 2  setzt 1€: Spieler 1 gewinnt 1€ (50%)
=> Spieler 2 setzt 2€: Spieler 1 verliert 1,5€ (50%)

-Spieler 1 kann 2 € setzen
Wieder zwei Möglichkeiten mit gleicher Wkeit:
=> Spieler 2  setzt 1€: Spieler 1 verliert 1,5€ (50%)
=> Spieler 2 setzt 2€: Spieler 1 gewinnt 2€ (50%)

Und jetzt kommt erst der Entschluss:
Spieler 1 sollte möglichst immer 2€ wählen, weil hier der erwartete Gewinn größer ist. Und das ist die Spielstrategie, die den Gewinn für Spieler 1 optimiert.
Es ist eine Grundannahme, dass wir die Strategie des Gegenspielers nicht kennen und jede Option als gleichwahrscheinlich ansehen.


EDIT:
Auf der anderen Seite, optimiert dann natürlich Spieler 2 den Gewinn, indem immer 1€ gesetzt wird.
Logischerweise steckt da in der Praxis noch eine ganze Menge Psychologie hinter.

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Leute bitte nicht diskutieren und Lösung bereitstellen

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Sag mal, wir sind hier nicht Deine Hausaufgabenmaschinen. Nimm doch das Hilfsangebot an und schalt mal Dein Hirn ein, statt Dich füttern zu lassen!

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@der amateur
Eine Lösung hat bisher noch niemand

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Logischerweise steckt da in der Praxis noch eine ganze Menge Psychologie hinter.

Steckt wohl eher Mathematik hinter.

Eine Lösung hat bisher noch niemand

Warun sollte Spieler 2 nicht in 7/12 aller Fälle 1€ spielen ?

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@Gast hj2166 weiß nicht, warum sollte er das?

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Weil er damit bei jeder Gegenstrategie von Spieler 1 eine positive Gewinnerwartung hat.

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Ist tatsächlich gut möglich. Habe das LP nicht aufgestellt und gelöst.

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Nochmals meine grundsätzliche Sicht der Dinge

Es gibt 4 Möglichkeiten für den Ausgang

1 / 1
1 / 2
2 / 1
2 / 2

Also dieselbe Wahrscheinlichkeit für
Gleich / Gleich   Gewinn / Verlust
1 / 1                   1 €
2 / 2                    2 €

Unterschiedlich
1 / 2                    1.5
2 / 1                     1.5

Im Mittel ( Verlust des einen / Gewinn des
anderen ) 1.5 €

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Wenn du davon ausgehst, dass beide Spieler keinerlei Gewinnstrategie verfolgen und nur zufällige Einsätze machen, ist das so.

Wenn du davon ausgehst, dass nur ein Spieler keinerlei Strategie verfolgt, dann gibt es für den anderen Spieler halt schon Optimierungsmöglichkeiten.War etwas unüberlegt von mir, nicht klarzustellen, dass ich die Voraussetzung nicht direkt so betrachte, wie in der Aufgabenstellung beschrieben.

Wenn du noch einen Schritt weiter gehst( und das ist das was im Endeffekt hier gelöst werden soll), kann man das als Problem als Lineares Programm aufstellen.

Dann gehst du davon aus, dass beide Spieler im Endeffekt abschätzen, dass der Gegenspieler möglicherweise errät, was du spielst. Dann kannst du ggF bestimmen, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Spieler eine Option wählen sollen.

Ich möchte ungerne ganze Wikipediabeispiele teilen, deshalb komm ich um das teilen eines Links gerade nicht herum:

https://de.wikipedia.org/wiki/Gemischte_Strategie

Hier gibt es zwei Beispiele, aus einer anderen Sicht nochmal ganz gut erklären.

Bzw. hier:

Lösung per LP:
https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Optimierung_(Spieltheorie)

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Hallo Marvin 812,
ich möchte dir auch nicht die Lust am debattieren verleiden. aber für mich ist
das nichts mehr.
Alles daraiuf einzuschränken das ein Spieler
stets dieselbe Münze setzt ist nicht
praxisgerecht.
Wenn beide Spieler optimieren wollen
sind wir wieder beim 50:50 Ausgang
ohne Vorteile für einen Spieler.
mfg Georg

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Herzlich Willkommen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Falls die Antwort von Gast hj2166 stimmt, widerspricht sich das ja auch mit deiner Aussage.

Man müsste halt eine Lösung des LPs finden, um das zu bestätigen.

Wenn beide Spieler optimieren wollen
sind wir wieder beim 50:50 Ausgang
ohne Vorteile für einen Spieler.

Alleine bei der Aussage sollte doch wohl klar sein, dass es möglich ist zu optimieren.

Ob am Ende bei beide die selben Erwarteten Gewinne besitzen, ist halt eine andere frage.