Fixpunkte finden Differentialgleichungssystem

Question

Wenn ich jetzt zum Beispiel das Dgl System habe:

x₁' =3x₁+(1/3)x₁² +x₂

x₂' =x₁² + 3x₂

x₃' = x₁² - x₃

(hab von der Original aufgabe ein paar Zahlen verändert, welche aber eigentlich keine Auswirkung im großen Haben sollte)

Jetzt soll ich die Fixpunkte berechnen, die stabilen/instabilen/zentralen Unterräume suchen und auch das Fundamentalsystem niederschreiben.

Ich habe jetzt die Gleichungen jeweils gleich 0 gesetzt und die Lösung für das System gesucht.

es wäre in dem Fall

0=3x₁+(1/3)x₁² +x₂
0=x₁² + 3x₂ ==> x₂ = -(1/3)x₁²
0 = x₁² - x₃ ==> x₃ = x₁²

wenn ich jetzt x₂ in die erste Gleichung einsetze lösen sich ja die letzten Terme auf und es kommt dann nur noch 0=3x₁ und somit x₁= 0

und daraus folgen für x₂ und x₃ auch 0

wäre dann (0|0|0) jetzt der Fixpunkt ?

Und wie gehe ich dann vor um die Unterräume zu finden und auch das Fundamentalsystem?

Answer 1

Hallo,

wäre dann (0|0|0) jetzt der Fixpunkt ? ->JA

Unterräume zu finden?

- Bilde die Jacobi - Matrix

- Setze den Fixpunkt ein

-Berechne die Determinante (das Lambda)

-Alle Eigenwerte sind in der linken Halbebene -----<asympt. Stabilität

-Ein - oder mehrere Eigenwerte sind in der rechten Halbebene ---->Instabilität

Fundamentalsystem?

DGL lösen , von Zeile 3 nach oben rechnen

FS {.../..../..} , das Ergebnis ohne das C

Comments

vielen Dank für die Antwort.

Ich lese gerade in meiner eigenen Aufgabe ich sollte das Fundamentalsystem der linearisierten Gleichung bestimmen.

Nur habe ich keinen Ansatz daran wie ich das angehe,

Mein größtes Problem ist das " x₁² " das ich ja in den Dgl stehen habe