stetige Funktion, zeigen Sie, dass ein ... exisitiert

Question

Aufgabe:

Es sei $$f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$$ eine stetige Funktion. Zeigen Sie, dass ein $$c \in(0,1)$$ mit $$\int_{0}^{1} f(x) x^{2} \mathrm{~d} x=\frac{f(c)}{3}$$ existiert.

Problem/Ansatz:

Hat jemand eine Idee wie man das lösen muss?

Answer 1

Hallo,

das ist einfach Anwendung des folgenden Satzes:

https://de.wikipedia.org/wiki/Mittelwertsatz_der_Integralrechnung

\(\int_{0}^{1} f(x) x^{2} \mathrm{~d} x=f(c)\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{f(c)}{3}\)

Comments

Ok vielen Dank, allerdings verstehe ich das nicht so richtig. Wie kommt man denn auf das \( \frac{f(c)}{3} \)? Hast du vielleicht noch einen Tipp wie genau ich anfangen soll mit dem was ich angegeben habe? Hänge leider ein bisschen hinterher deswegen kann ich das wohl nicht so nachvollziehen.

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Einfach

 \(\int_{0}^{1} x^2dx\)

ausrechnen, das ist ein 0815 Integral, was man schon in der Schule lösen lernt ;).

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Ja gut das ist wirklich kein problem, wie dumm ich einfach bin dachte irgendwie gar nicht dran das integral einfach auszurechnen :D

Aber wie fange ich an den Satz den du gepostet hast anzuwenden? Kann ja nicht einfach nur die Formel von dir hinschreiben und das wars.