Wie begründe mathematisch, dass eine Folge einen bestimmten Grenzwert hat?

Question

Aufgabe:

Wie begründe mathematisch, dass eine Folge einen bestimmten Grenzwert hat?

Für dieses Problem definiere ich mal die folgenden Folgen:

\(a_n = \frac{n+4n-n^5}{n^3+3n^5-2n} \)

\(b_n =  \sqrt{n^2+4} - \sqrt{n^2+2}\)

Problem/Ansatz:

Ich könnte jetzt die Grenzwerte folgendermaßen angeben und begründen:

Da bei der Folge \(a_n\) der höchste Exponent 5 ist, können alle anderen Terme ignoriert werden, also bleibt letztlich

nur \( \frac{-n^5}{3n^5} \). Das bedeutet, der Grenzwert der Folge ist \( \frac{-1}{3} \).

Da \(n\) gegen unendlich geht, sind die \(+4\) und \(+2\) zu vernachlässigen. Es bleibt also nur: \( \sqrt{n^2} - \sqrt{n^2}\) - folglich muss der Grenzwert 0 sein.

Das wäre meine intuitive Begründung - da Intuition nicht ausreicht (oder reicht sie doch?), muss ich meine Intuition mathematisch ausdrücken. Die Frage, die ich mir stelle, ist folgende: Inwieweit muss ich die Folgen umformen, sodass die mathematische Begründung (also das Umformen an sich) ausreicht, um schlussfolgern zu dürfen, dass eine bestimmte Folge einen bestimmten Grenzwert hat? Ich komme einfach nicht dahinter. Es geht hier mehr um das Verständnis als um das Rechnen.

Kann mir jemand meinem Verständnis auf die Sprünge helfen?

Answer 1

Hallo,

zu a)

\(a_n = \frac{n+4n-n^5}{n^3+3n^5-2n}= \frac{1/n^4+4/n^4-1}{1/n^2+3-2/n^4} \to\frac{0+0-1}{0+3-0}=-1/3   \)

zu b) erweitere gemäß dritter binomischer Formel:

\(b_n =  (\sqrt{n^2+4} - \sqrt{n^2+2})=\dfrac{(\sqrt{n^2+4} - \sqrt{n^2+2})(\sqrt{n^2+4} + \sqrt{n^2+2})}{(\sqrt{n^2+4} + \sqrt{n^2+2})}=\dfrac{2}{(\sqrt{n^2+4} + \sqrt{n^2+2})} \to 0\)

Comments

Danke für die Antwort. Es ging mir jedoch mehr um den Ansatz. Meine intuitive Begründung hat zum selben Grenzwert geführt - aber reicht sie denn auch? Oder kann man davon ausgehen, dass die intuitive Begründung ausreicht, wenn man auf den richtigen Grenzwert kommt. Ich verstehe nicht, wie man begründen muss, also inwieweit man die Folge umformen muss bzw, ob man sie überhaupt umformen muss (siehe meine intuitive Begründung im Ansatz). Zählt letzten Endes nur der richtige Grenzwert, egal ob intuitive Begründung oder mathematische Begründung, oder ist der Weg, also das Umformen an sich, auch Teil der Bewertung?

---

Das hängt vom Aufgabensteller ab, je nachdem ob es eine Schulaufgabe ist oder an der Uni. An der Schule würdest du wahrscheinlich mit deiner mündlich formulierten Begründung auch Punkte bekommen, an der Uni jedoch nicht.

Streng genommen sind meine oben gezeigten Umformungen auch noch kein vollständiger Beweis, ich setze voraus, dass es klar ist, dass die umgeformten Terme zum Schluss Nullfolgen sind.