beweis f:[-1/2, 1/2] konvex und differenzierbar f(0) ≤ \int \limits_{-1/2}^{1/2}f(x)dx

Question

Hallo,

Sei f:[-1/2, 1/2] konvex und differenzierbar.

Wie kann ich zeigen, dass das gilt:  

$$ f(0) ≤ \int \limits_{-1/2}^{1/2}f(x)dx $$

Ich wäre um jede Hilfe dankbar

Answer 1

Hallo,

für eine konvexe Funktion gilt:
$$f(x) \geq f(0)+f'(0)x$$

Das überträgt sich auf das Integral:

$$\int_{-1/2}^{1/2} f(x) \, dx \geq \int_{-1/2}^{1/2} (f(0)+f'(0)x) \, dx=f(0)$$

Gruß