Zeigen Sie, dass v1 , v2 linear unabhängig sind.

Question

Aufgabe:

Sei  K = ℚ Körper der rationalen Zahlen. Seien ein (endlichdimensionaler) K -Vektorraum und  Sei f: V → V eine lineare Abbildung mit f(v₁) = 2v₁  , f(v₂) = − v₁+ 2v₂ .
Zeigen Sie, dass v₁ , v₂ linear unabhängig sind.

Problem/Ansatz:

Ich habe die Koeffizienten in den Gleichungen in eine Matrix als Spalten reingeschrieben und die Matrix in RZSF gebracht.

2	-1
0	2

danach habe ich die Einheitsmatrix erhalten, aber das heisst ja nicht, dass v1 und v2 linear unabhängig sind, also was muss ich stattdessen machen oder ergänzend? Danke.

Answer 1

Hallo, du hast zwar die Bilder von \(v_1,v_2\) unter deiner linearen Abbildung gegeben, aber keine weiteren Aussagen darüber, ob diese zb linear unabhängig sind. Von daher kann man aus deiner Version nun alles Mögliche schließen, da nämlich nicht geklärt ist, ob hier auch zb \(v_1=0\) oder \(v_2=0\) gelten kann.

Comments

Danke erstmal, also v₁, v₂ sind aus V\{0}. Hilft das insofern, dass man jetzt folgern kann, dass v1, v2 linear unabhängig sind?

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Lösung: Aus den Eigenschaften linearer Abbildungen wissen wir

f(a₁v₁+a₂v₂+...+a_nv_n)=a₁f(v₁)+a₂f(v₂)+...+a_nf(v_n), wenn also f(v1) linear.unab zu f(v2) ist, dann ist v1 linear.unab zu v2. wir nehmen uns also zwei Koeffizienten a,b aus  ℚ, sodass

af(v1)+f(v2)=0, für a,b = 0. Wenn wir also die triviale Lösung haben, dann sind automatisch auch v1 und v2 lin.unab. Also, da f(v₁) = 2v₁ , f(v₂) = − v₁+ 2v₂

a(2v₂)+b(-1v₁+2v₂)=0

2a(v2)-b(v1)+2b(v2)=0

2(a+b)(v2)-b(v1)=0 , damit diese Gleichung zu null wird, müssen also für die Koeffizienten a+b=0 und -b=0 gelten. Man könnte jetzt aus den Koeffizienten auch eine erweiterte Koeffizientenmatrix machen, also

1	1	0
0	-1	0

an der Stelle hätte ich auch die Einträge im ersten Post für die Matrix verwenden können, aber im Grunde sieht man vorher schon, dass wenn -b=0, also b=0 und damit a=0 gilt und somit die die triviale Lösung. Also folgt damit, dass auch v1 lin.unab zu v2 ist.

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Die Rechnung ist falsch, ich habe das im nachhinein verbessert, aber die Änderung wurde scheinbar nicht gespeichert. Also richtig sollte es so sein:

da f(v1) = 2v1  , f(v2) = − v1+ 2v2

a(2v1)+b(-v1+2v2)=0 | nach klammer Aufloesen, umsotieren und ausklammern folgt

(2a-1b)v1+2bv2=0

fuer b=0 folgt a=0, also haben wir die triviale Lösung und daher v1,v2 lin.unab.

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Deine Rechnungen stimmen schon, aber nur, wenn du weißt, dass die Bilder von \(v_1\) und \(v_2\) unter \(f\) linear unabhängig sind.